五十四角形

五十四角形（ごじゅうよんかくけい、ごじゅうよんかっけい、pentacontatetragon）は、多角形の一つで、54本の辺と54個の頂点を持つ図形である。内角の和は9360°、対角線の本数は1377本である。

正五十四角形

正五十四角形においては、中心角と外角は6.666666…°で、内角は173.333333…°となる。一辺の長さが a の正五十四角形の面積 S は

S = \frac{27}{2} a^{2} \cot \frac{π}{54} a^{2}

以下のようにα、β、γを定義すると

\begin{matrix} α = 2 \cos \frac{2 π}{54} \cdot 2 \cos \frac{34 π}{54} \cdot 2 \cos \frac{38 π}{54} \\ β = 2 \cos \frac{10 π}{54} \cdot 2 \cos \frac{46 π}{54} \cdot 2 \cos \frac{26 π}{54} \\ γ = 2 \cos \frac{50 π}{54} \cdot 2 \cos \frac{14 π}{54} \cdot 2 \cos \frac{22 π}{54} \end{matrix}

三次方程式の係数を求めると

\begin{matrix} α + β + γ = 0 \\ α β + β γ + γ α = - 3 \\ α β γ = 1 \end{matrix}

三次方程式は

x^{3} - 3 x - 1 = 0

三角関数、逆三角関数を用いた解を求め、立方根を使った解を求めると

α = 2 \cos (\frac{1}{3} \arccos \frac{1}{2}) = \sqrt[3]{\frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2}} + \sqrt[3]{\frac{1}{2} - i \frac{\sqrt{3}}{2}} = \sqrt[3]{- ω^{2}} + \sqrt[3]{- ω}

三次方程式の係数を求めると

\begin{matrix} 2 \cos \frac{2 π}{54} + 2 \cos \frac{34 π}{54} + 2 \cos \frac{38 π}{54} = 0 \\ 2 \cos \frac{2 π}{54} \cdot 2 \cos \frac{34 π}{54} + 2 \cos \frac{34 π}{54} \cdot 2 \cos \frac{38 π}{54} + 2 \cos \frac{38 π}{54} \cdot 2 \cos \frac{2 π}{54} = - 3 \\ 2 \cos \frac{2 π}{54} \cdot 2 \cos \frac{34 π}{54} \cdot 2 \cos \frac{38 π}{54} = α \end{matrix}

三次方程式は

u^{3} - 3 u - α = 0

三角関数、逆三角関数を用いた解を求め、立方根を使った解を求めると

u_{1} = 2 \cos (\frac{1}{3} \arccos \frac{α}{2}) = \sqrt[3]{\sqrt[3]{- ω^{2}}} + \sqrt[3]{\sqrt[3]{- ω}}

よって

\cos \frac{2 π}{54} = \frac{\sqrt[3]{\sqrt[3]{- ω^{2}}} + \sqrt[3]{\sqrt[3]{- ω}}}{2}

正五十四角形は定規とコンパスによる作図が不可能な図形である。

正五十四角形は折紙により作図可能である。