完全交叉環
可換環論の完全交叉環（かんぜんこうさかん、テンプレート:Lang-en-short）とは、テンプレート:仮リンクする代数多様体のテンプレート:仮リンクのような性質を持つように定義された可換環のことである。簡単にいうと、必要最小限の個数の関係式で定義可能な局所環と考えられるものである。完交環ともいう。
ネーター局所環については次の包含関係が成り立つ。
- 強鎖状環 ⊃ コーエン・マコーレー環 ⊃ ゴレンシュタイン環 ⊃ 完全交叉環 ⊃ 正則局所環
定義
完全交叉環とは、ネーター局所環であって完備化が正則局所環の正則列で生成されたイデアルによる商になっているもののことをいう[1]。完備化を取るのは、すべての局所環が正則局所環の商になるわけではないことからくる、少し技術的な事情による。代数幾何学で現れるほとんどの局所環は正則局所環の商なので、その場合には完全交叉環の定義において完備化を取る必要はない。
正則局所環への埋め込みを使わず次のように内在的に定義することも可能である。テンプレート:Mvar をネーター局所環、その極大イデアルを テンプレート:Mvar とするとき、テンプレート:Math の次元を テンプレート:Mvar の埋込み次元といい、テンプレート:Math と書く。テンプレート:Math の極小生成系に関してのテンプレート:仮リンクのホモロジーを テンプレート:Math と書く。これは次数付き環になっている。同型を除いてこれは テンプレート:Mvar のみから決まり、テンプレート:Mvar の生成元の取り方に依らない。テンプレート:Math の次元を テンプレート:Math と書き、これを テンプレート:Mvar のテンプレート:訳語疑問点範囲という。これは、テンプレート:Mvar が正則なとき、かつそのときに限りゼロになる。ネーター局所環は、埋込み次元が次元と第1差異の和になるとき、つまり
であるとき、完全交叉環と定義しても同値である。
完全交叉局所環には次のような再帰的な特徴づけもあり、これを定義として使うことも可能である。テンプレート:Mvar を完備ネーター局所環とする。テンプレート:Mvar の次元が0より大きく、テンプレート:Mvar を極大イデアルの要素で零因子ではないものとすると、テンプレート:Mvar が完全交叉環であることと テンプレート:Math がそうであることは同値である。極大イデアルのすべての要素が零因子なら テンプレート:Mvar は完全交叉環ではない。次元0の環 テンプレート:Mvar が完全交叉環となるのは、極大イデアルのフィッティング・イデアルがゼロではないとき、かつそのときに限る。この次元0の完全交叉環の特徴づけはテンプレート:Harvtxtで示された。
例
- 正則局所環は完全交叉環。しかし逆は正しくない。環 は0次元の完全交叉環であるが正則ではない。
- 完全交叉環はゴレンシュタイン環。しかし逆は正しくない。環 は0次元のゴレンシュタイン環だが、完全交叉環ではない。