フィッティング・イデアル
可換環論のフィッティング・イデアル（テンプレート:Lang-en-short）とは、可換環上の有限生成加群を指定された数の元によって生成しようとしたときに現れる障害を記述するものである。名称は考案者のテンプレート:仮リンクに因む テンプレート:Sfn 。
定義
可換環 テンプレート:Mvar 上の有限生成加群 テンプレート:Mvar が元 テンプレート:Math によって生成され、その関係式が
であったとする。このとき、テンプレート:Mvar の テンプレート:Mvar 次フィッティング・イデアル テンプレート:Math とは、行列 テンプレート:Math の テンプレート:Math 次小行列式（部分行列の行列式）で生成されるイデアルのことをいう[1]テンプレート:Sfn。フィッティング・イデアルは テンプレート:Mvar の生成元と関係式の取り方によらない[2]。
ゼロではない最初のフィッティング・イデアル テンプレート:Math をフィッティング・イデアル テンプレート:Math と定義する人もいる。
性質
フィッティング・イデアルは増大する[3]:
テンプレート:Mvar が テンプレート:Mvar 個の元で生成できるなら テンプレート:Math が成り立ち、テンプレート:Mvar が局所環なら逆も成り立つ。テンプレート:Mvar の零化イデアルを テンプレート:Math とすると テンプレート:Math が成り立つ[4]。また テンプレート:Math が成り立つ。 特に、テンプレート:Mvar が テンプレート:Mvar 個の元で生成できるなら テンプレート:Math が成り立つ。
例
テンプレート:Mvar が階数 テンプレート:Mvar の自由加群なら、 フィッティング・イデアル テンプレート:Math は テンプレート:Math に対してゼロであり、 テンプレート:Math に対して テンプレート:Mvar である[5]。
テンプレート:Mvar を位数 テンプレート:Math の有限アーベル群とする。これを整数環上の加群とみたとき、そのフィッティング・イデアル テンプレート:Math はイデアル テンプレート:Math である。
結び目のアレクサンダー多項式は、結び目補空間の無限次アーベル被覆の1次ホモロジーのフィッティング・イデアルの生成元である。
フィッティング像
歴史
1929年、フィリップ・フルトヴェングラーは類体論のテンプレート:仮リンクを証明した。彼の証明は群論的計算を延々と続けるという、難解なものであった。彌永昌吉は彼の証明を改善する過程で位数イデアル（Ordnungsideal）の概念を導入した。これがハンス・フィッティングによって行列式イデアル（Determinantenideal）として取り上げられ、拡張され、フィッティング・イデアルと呼ばれるものになったテンプレート:Sfn。その後、バリー・メイザーとアンドリュー・ワイルズによって岩澤主予想の証明に活用されたテンプレート:Sfn。