平坦射

平坦射（へいたんしゃ、テンプレート:Lang-en-short）とは、数学の代数幾何学におけるスキーム論の用語で、スキームテンプレート:Mvar からスキームテンプレート:Mvar への射テンプレート:Mvar であって茎に誘導される写像がすべて環の平坦写像になるもののことをいう。つまり、テンプレート:Mvar のすべての点テンプレート:Mvar に対して

f_{P} : 𝒪_{Y, f (P)} \to 𝒪_{X, P}

が平坦写像になるもののことをいう^[1]。環の写像 $A \to B$ が平坦とは、準同型であってこれによりテンプレート:Mvar が平坦テンプレート:Mvar 加群になることである。スキームの射が全射かつ平坦であるとき、忠実平坦という^[2]。

平坦射の感覚的な理解のうえでは次の2つが基本的である。

平坦性はテンプレート:仮リンクである（このことを以下ではテンプレート:仮リンクと呼ぶ）。つまり、（ある有限性の条件の下で）スキームの射はほとんどの点で平坦であり、平坦性が崩れるのは例外的な部分集合においてである。このことは可換環論における一般自由性の帰結である。

平坦射ではファイバーの等次元性が成り立つ。また、ある仮定のもとではファイバーが等次元であれば平坦である（#奇跡的平坦性）。このことから、平坦性とはすなわちファイバーが等次元であることと思える。この点に特に着目し、ファイバーに等次元性の条件を課したいときに平坦性を仮定することがある。また、平坦射は等次元のファイバーの族であることを強調したいとき、平坦射を平坦族ということも多い。例えば、双有理幾何学での代数曲面のブローダウンという操作では、ある特定の1点でのテンプレート:仮リンクの次元は1であるが、他の点での次元はすべて0なので、平坦ではない。

平坦射は色々な種類のテンプレート:仮リンクやテンプレート:仮リンクの定義に使われる。これらは深い理論で、扱いやすいものではない。平坦射はエタール射の定義、ひいてはエタール・コホモロジーの定義にも使われる。エタール射とは、平坦かつ有限型かつ不分岐な射のことであった。

例

アフィンスキームの射

Spec (\frac{ℂ [x, y, t]}{x^{2} + y^{2} - t}) \to Spec (ℂ [t])

を考える。これは環の準同型

{\begin{matrix} ℂ [t] \to \frac{ℂ [x, y, t]}{x^{2} + y^{2} - t} \\ t \mapsto t \end{matrix}

から誘導されているものとする。これが平坦であることを示すには

{Tor}_{1}^{ℂ [t]} (\frac{ℂ [x, y, t]}{x^{2} + y^{2} - t}, ℂ)

を計算すればよい^[3]^[4]。 $ℂ$ を

\begin{matrix} 0 & \to & ℂ [t] & \overset{\cdot t}{\to} & ℂ [t] & \to & 0 \\ ↓ & ↓ & ↓ & ↓ \\ 0 & \to & 0 & \to & ℂ & \to & 0 \end{matrix}

と分解して、先のスキームに対応する加群をテンソルして、 $ℂ [t]$ 加群の系列

0 \to \frac{ℂ [x, y, t]}{x^{2} + y^{2} - t} \overset{\cdot t}{\to} \frac{ℂ [x, y, t]}{x^{2} + y^{2} - t} \to 0

を得る。テンプレート:Mvar は零因子ではないのでこの核は自明である。したがってホモロジー群は消える。

奇跡的平坦性

平坦射の例はテンプレート:訳語疑問点範囲^[5]からも得られる。奇跡的平坦性とは、コーエン・マコーレー・スキームから正則スキームへの射 $f : X \to Y$ は、ファイバーが等次元であれば平坦であるという定理である。これから簡単に得られる平坦射の例としては、楕円ファイバー空間、滑らかな射、各滑層上で奇跡的平坦性が成り立つテンプレート:訳語疑問点範囲への射などがある。

ヒルベルトスキーム

普遍性を持つスキームの平坦射の例はヒルベルトスキームである。ヒルベルトスキームは平坦射の普遍族のパラメーター空間なので、すべての平坦射はあるヒルベルトスキームからの引き戻しである。つまり、 $f : X \to S$ を射影空間に閉部分スキームとして埋め込める平坦射とすると、射 $S \to {Hilb}_{S}$ が存在してテンプレート:Mvar はこの射による普遍族の引き戻しになる。 $f$ は平坦なのでファイバー $f_{s} : X_{s} \to s$ はすべて同じヒルベルト多項式 $Φ$ を持つので、上記のヒルベルトスキームを ${Hilb}_{S}^{Φ}$ で置き換えてもよい。

平坦射ではない例

ブローアップ

平坦射ではない射の例としてはブローアップ

{Bl}_{I} X \to X

がある。簡単な例として、 $ℂ [x, y]$ の1点でのブローアップを考える。その1点を原点とすると、射は

ℂ [x, y] \to \frac{ℂ [x, y, s, t]}{x t - y s}

,

x \mapsto x, y \mapsto y

で与えられる。点 $(a, b) \neq (0, 0)$ でのファイバーは $ℂ$ のコピーである。つまり

\frac{ℂ [x, y, s, t]}{x t - y s} \otimes_{ℂ [x, y]} \frac{ℂ [x, y]}{(x - a, y - b)} ≅ ℂ

ということであるが、これは

M \otimes_{R} \frac{R}{I} ≅ \frac{M}{I M}

からしたがう。しかし原点 $a = b = 0$ に対しては同型

\frac{ℂ [x, y, s, t]}{x t - y s} \otimes_{ℂ [x, y]} \frac{ℂ [x, y]}{(x, y)} ≅ ℂ [s, t]

が成り立つ。このことと奇跡的平坦性の補題により平坦ではないことが分かる。

無限分解

平坦射ではない簡単な例は $k [ε] = k [x] / (x^{2}) \to k$ である。このことを見るには

k \otimes_{k [ε]}^{𝐋} k

^[6]

が無限複体であることを見ればよい。テンプレート:Mvar の平坦分解

\dots \overset{\cdot ε}{\to} k [ε] \overset{\cdot ε}{\to} k [ε] \overset{\cdot ε}{\to} k [ε] \to k

を取り、この分解にテンプレート:Mvar をテンソルして

k \otimes_{k [ε]}^{𝐋} k ≃ ⨁_{i = 0}^{\infty} k [+ i]

であることが分かる。したがって平坦ではない。

平坦射の性質

$f : X \to Y$ をスキームの射とする。射 $g : Y^{'} \to Y$ に対して $X^{'} = X \times_{Y} Y^{'}$ 、第2成分への射影を $f^{'} : X^{'} \to Y^{'}$ と書くことにすると、射テンプレート:Mvar が平坦であることと、すべてのテンプレート:Mvar に対して引き戻し $f'^{*}$ が準連接 $𝒪_{Y^{'}}$ 加群の圏から準連接 $𝒪_{X^{'}}$ 加群の圏への完全関手になることは同値である^[7]。

$f : X \to Y$ と $g : Y \to Z$ をスキームの射とし、テンプレート:Mvar はテンプレート:Mvar の点テンプレート:Mvar で平坦とする。このとき、テンプレート:Mvar が $f (x)$ で平坦であることと、テンプレート:Math がテンプレート:Mvar で平坦であることは同値である^[8]。特に、テンプレート:Mvar が忠実平坦なら、テンプレート:Mvar が平坦または忠実平坦であることとテンプレート:Math がそれぞれ平坦または忠実平坦であることは同値である^[9]。

基本的な性質

平坦射の合成は平坦^[10]。

平坦射のファイバー積は平坦、忠実平坦射のファイバー積は忠実平坦^[11]。

平坦性と忠実平坦性は基底変換で保たれる。つまり、 $g : Y^{'} \to Y$ に対して、テンプレート:Mvar が平坦または忠実平坦ならファイバー積 $f \times g : X \times_{Y} Y^{'} \to Y^{'}$ もそれぞれ平坦または忠実平坦である^[12]。

（局所的に有限表示の）射が平坦となる点の集合は開集合^[13]。

テンプレート:Mvar が忠実平坦かつ有限表示とする。テンプレート:Math が有限型または有限表示であれば、テンプレート:Mvar もそれぞれ有限型または有限表示である^[14]。

$f : X \to Y$ をスキームの平坦射とする。

テンプレート:Mvar をテンプレート:Mvar 上の有限表示の準連接層（例えば連接層）とし、テンプレート:Mvar をテンプレート:Mvar 上のテンプレート:Mvar の零化イデアルとする。このとき、包含写像の引き戻し $f^{*} J \to 𝒪_{X}$ は単射で $f^{*} J$ の $𝒪_{X}$ における像はテンプレート:Mvar 上の $f^{*} F$ の零化イデアルである^[15]。

テンプレート:Mvar が忠実平坦でテンプレート:Mvar を準連接 $𝒪_{Y}$ 加群とする。このとき、大域切断の引き戻し写像 $Γ (Y, G) \to Γ (X, f^{*} G)$ は単射である^[16]。

$h : S^{'} \to S$ を平坦射とする。テンプレート:Mvar とテンプレート:Mvar をテンプレート:Mvar スキーム、 $X^{'}$ と $Y^{'}$ をこれらのテンプレート:Mvar による基底変換とする。

$f : X \to Y$ が準コンパクトかつ支配的ならば、基底変換 $f^{'} : X^{'} \to Y^{'}$ も準コンパクトかつ支配的である^[17]。

テンプレート:Mvar が忠実平坦なら、引き戻し写像 ${Hom}_{S} (X, Y) \to {Hom}_{S^{'}} (X^{'}, Y^{'})$ は単射である^[18]。

$f : X \to Y$ が準コンパクトかつ準分離的とする。テンプレート:Mvar をテンプレート:Mvar の閉像とし、 $j : Z \to Y$ を標準的単射とする。このとき、基底変換で定義される閉部分スキーム $j^{'} : Z^{'} \to Y^{'}$ は $X^{'}$ の閉像である^[19]

位相的性質

$f : X \to Y$ が平坦とすると、次がすべて成り立つ。

テンプレート:Mvar の任意の点テンプレート:Mvar とテンプレート:Math の任意の一般化テンプレート:Math に対して、テンプレート:Mvar の一般化テンプレート:Math でテンプレート:Math となるものが存在する^[20]。

テンプレート:Mvar の任意の点テンプレート:Mvar に対して $f (Spec 𝒪_{X, x}) = Spec 𝒪_{Y, f (x)}$ が成り立つ^[21]。

テンプレート:Mvar の任意の既約閉部分集合テンプレート:Math に対して、テンプレート:Math の任意の既約成分からテンプレート:Math への射は支配的である^[22]。

テンプレート:Mvar とテンプレート:Math をテンプレート:Mvar の2つの既約閉部分集合でテンプレート:Mvar はテンプレート:Math に含まれているものとする。このとき、テンプレート:Math の任意の既約成分テンプレート:Mvar に対してテンプレート:Math の既約成分テンプレート:Math でテンプレート:Mvar を含むものが存在する^[23]。

テンプレート:Mvar の任意の既約成分テンプレート:Mvar に対してテンプレート:Math の閉包はテンプレート:Mvar の既約成分である^[24]。

テンプレート:Mvar が既約で生成点テンプレート:Mvar の逆像テンプレート:Math が既約であればテンプレート:Mvar も既約である^[25]。

テンプレート:Mvar が閉であれば、テンプレート:Mvar の任意の連結成分の像はテンプレート:Mvar の連結成分^[26]。

テンプレート:Mvar の任意のテンプレート:訳語疑問点範囲部分集合テンプレート:Mvar に対して $f^{- 1} (\bar{Z}) = \overline{f^{- 1} (Z)}$ が成り立つ^[27]。

テンプレート:Mvar が平坦かつ局所的に有限表示であれば、テンプレート:Mvar は普遍的開写像（絶対開ともいう）である^[28]。しかし、テンプレート:Mvar が忠実平坦かつ準コンパクトであるとき、仮にテンプレート:Mvar とテンプレート:Mvar がともにネーターであったとしても、一般にはテンプレート:Mvar は開写像にならない^[29]。またこれの逆も成り立たない。テンプレート:Mvar を被約スキームテンプレート:Math からテンプレート:Mvar への標準的な写像とするとき、テンプレート:Mvar は普遍的同相写像となるが、テンプレート:Mvar が被約ではなくネーターであればテンプレート:Mvar は決して平坦にはならない^[30]。

$f : X \to Y$ が忠実平坦であれば次が成り立つ。

テンプレート:Mvar の位相はテンプレート:Mvar についての商位相である^[31]。

テンプレート:Mvar がさらに準コンパクトととし、テンプレート:Mvar をテンプレート:Mvar の部分集合とすると、テンプレート:Mvar がテンプレート:Mvar の局所的に閉な副構成可能部分集合であるための必要十分条件はテンプレート:Math がテンプレート:Mvar の局所的に閉な副構成可能部分集合であることである^[32]。

テンプレート:Mvar が平坦かつ局所的に有限表示とすると、次に挙げる各性質 P に対してテンプレート:Mvar が P である点の集合は開集合である^[33]。

セールの条件テンプレート:Math（固定したテンプレート:Math に対して）

幾何学的に正則

幾何学的に正規

さらにテンプレート:Mvar が固有射だったとすると、次に挙げる各性質についても同じことが成り立つ^[34]。

幾何学的に被約

幾何学的に被約かつテンプレート:Mvar 個の幾何学的連結成分を持つ（固定したテンプレート:Mvar に対して）

幾何学的に整

平坦性と次元

$X$ と $Y$ を局所ネータースキームとし、 $f : X \to Y$ を射とする。

テンプレート:Mvar をテンプレート:Mvar の点、テンプレート:Math とする。テンプレート:Mvar が平坦であれば、テンプレート:Math が成り立つ^[35]。逆に、すべてのテンプレート:Mvar に対してこの等式が成り立ち、テンプレート:Mvar がコーエン・マコーレイ、テンプレート:Mvar が正則、そしてテンプレート:Mvar が閉点を閉点に写すなら、テンプレート:Mvar は平坦である^[36]。

テンプレート:Mvar が忠実平坦ならば、テンプレート:Mvar の各閉部分集合テンプレート:Mvar に対してテンプレート:Math が成り立つ^[37]。

テンプレート:Mvar が平坦、テンプレート:Mvar をテンプレート:Mvar 上の準連接層とする。テンプレート:Mvar の射影次元がテンプレート:Mvar 以下なら、 $f^{*} F$ の射影次元もテンプレート:Mvar 以下である^[38]。

降下する性質

テンプレート:Mvar の点テンプレート:Mvar でテンプレート:Mvar が平坦とする。テンプレート:Mvar がテンプレート:Mvar で被約または正規なら、テンプレート:Mvar もテンプレート:Math でそれぞれ被約または正規である^[39]。逆に、テンプレート:Mvar がさらに有限表示でテンプレート:Math がテンプレート:Mvar で被約または正規なら、テンプレート:Mvar もテンプレート:Mvar でそれぞれ被約または正規である^[40]。

特に、テンプレート:Mvar が忠実平坦でテンプレート:Mvar が被約または正規であれば、テンプレート:Mvar はそれぞれ被約または正規である。テンプレート:Mvar が忠実平坦かつ有限表示であれば、テンプレート:Mvar のすべてのファイバーが被約または正規であることはテンプレート:Mvar がそれぞれ被約または正規であることを意味する。

テンプレート:Mvar がテンプレート:Mvar の点テンプレート:Mvar で平坦とする。このとき、テンプレート:Mvar がテンプレート:Mvar で整または整閉であれば、テンプレート:Mvar もテンプレート:Math でそれぞれ整または整閉である^[39]。

テンプレート:Mvar が忠実平坦とする。テンプレート:Mvar が局所的に整でテンプレート:Mvar の基礎位相空間が局所ネーターならば、テンプレート:Mvar も局所的に整である^[41]。

テンプレート:Mvar が忠実平坦かつ準コンパクトとする。テンプレート:Mvar が局所ネーターなら、テンプレート:Mvar も局所ネーターである^[42]。

テンプレート:Mvar が平坦かつテンプレート:Mvar とテンプレート:Mvar がともに局所ネーターとする。テンプレート:Mvar がテンプレート:Mvar で正則なら、テンプレート:Mvar もテンプレート:Math で正則である。逆に、テンプレート:Mvar がテンプレート:Math で正則で、テンプレート:Math がテンプレート:Mvar で正則なら、テンプレート:Mvar もテンプレート:Mvar で正則である^[43]。

テンプレート:Mvar が平坦かつテンプレート:Mvar とテンプレート:Mvar がともに局所ネーターとする。テンプレート:Mvar がテンプレート:Mvar で正規なら、テンプレート:Mvar もテンプレート:Math で正規である。逆に、テンプレート:Mvar がテンプレート:Math で正規で、テンプレート:Math がテンプレート:Mvar で正規なら、テンプレート:Mvar もテンプレート:Mvar で正規である^[44]。

テンプレート:Math を忠実平坦な射とする。テンプレート:Mvar をテンプレート:Mvar 上の準連接層とし、テンプレート:Math をテンプレート:Mvar のテンプレート:Math への引き戻しとする。このとき、テンプレート:Mvar がテンプレート:Mvar 上平坦であることとテンプレート:Math がテンプレート:Math 上平坦であることは同値である^[45]。

テンプレート:Mvar が忠実平坦かつ準コンパクトとする。テンプレート:Mvar をテンプレート:Mvar 上の準連接層、テンプレート:Mvar をこのテンプレート:Mvar への引き戻しとする。このとき、テンプレート:Mvar が有限型、有限表示、階数テンプレート:Mvar で局所自由となることと、テンプレート:Mvar が対応する性質を持つことは同値である^[46]。

テンプレート:Math をテンプレート:Mvar スキームのテンプレート:Mvar 射とする。テンプレート:Math を忠実平坦かつ準コンパクトな射とし、テンプレート:Math, テンプレート:Math, テンプレート:Math をテンプレート:Mvar による基底変換とする。このとき、次に挙げる各性質 P に対して、テンプレート:Math が性質 P を持てばテンプレート:Mvar も性質 P を持つ^[47]。

開
閉
準コンパクトかつその像の上への同相写像
同相写像

さらに、次に挙げる各性質 P に対して、テンプレート:Mvar が性質 P を持つこととテンプレート:Math が性質 P を持つことは同値である^[48]。

普遍的開
普遍的閉
普遍的同相写像（universal homeomorphism）
準コンパクト
準コンパクトかつ支配的
準コンパクトかつ普遍的共連続（universally bicontinuous）
分離的
準分離的
局所有限型
局所的に有限表示
有限型
有限表示
固有
同型
単射
開埋入
準コンパクトな埋入
閉埋入
アフィン
準アフィン
有限
準有限
整

忠実平坦射で降下しない性質もある。例えば、「局所同型」という性質は、テンプレート:Math が局所同型写像であってもテンプレート:Mvar が局所埋入ですらないということはあり得るので、降下しない^[49]。

テンプレート:Mvar が準コンパクト、テンプレート:Mvar をテンプレート:Mvar 上の可逆層とする。このとき、テンプレート:Mvar がテンプレート:Mvar 豊富またはテンプレート:Mvar 非常に豊富であることと、その引き戻しテンプレート:Math がそれぞれテンプレート:Math 豊富またはテンプレート:Math 非常に豊富であることは同値である^[50]。しかし、「テンプレート:Mvar が射影的であることとテンプレート:Math が射影的であることは同値」という主張は成り立たない。また、「テンプレート:Mvar が固有かつテンプレート:Math が射影的ならテンプレート:Mvar は準射影的」という主張も成り立たない。これは、テンプレート:Mvar に降下しないテンプレート:Math 上のテンプレート:Math 豊富層が存在し得るからである^[51]。

脚注

テンプレート:Reflist

参考文献

↑ EGA IV₂, 2.1.1.
↑ EGA 0_I, 6.7.8.
↑ テンプレート:Cite book
↑ 可換環テンプレート:Mvar 上の加群テンプレート:Mvar が平坦であることと任意のイデアルテンプレート:Mvar についてテンプレート:Math であることは同値である（Stacks Project, Tag 00M5）。このことと、テンプレート:Math は単項イデアル整域なのでイデアルが簡単に分類できることを使ってもわかる。
↑ テンプレート:Cite web
↑ $\otimes^{𝐋}$ はテンプレート:仮リンクを表す記号。
↑ EGA IV₂, Proposition 2.1.3.
↑ EGA IV₂, Corollaire 2.2.11(iv).
↑ EGA IV₂, Corollaire 2.2.13(iii).
↑ EGA IV₂, Corollaire 2.1.6.
↑ EGA IV₂, Corollaire 2.1.7, and EGA IV₂, Corollaire 2.2.13(ii).
↑ EGA IV₂, Proposition 2.1.4, and EGA IV₂, Corollaire 2.2.13(i).
↑ EGA IV₃, Théorème 11.3.1.
↑ EGA IV₃, Proposition 11.3.16.
↑ EGA IV₂, Proposition 2.1.11.
↑ EGA IV₂, Corollaire 2.2.8.
↑ EGA IV₂, Proposition 2.3.7(i).
↑ EGA IV₂, Corollaire 2.2.16.
↑ EGA IV₂, Proposition 2.3.2.
↑ EGA IV₂, Proposition 2.3.4(i).
↑ EGA IV₂, Proposition 2.3.4(ii).
↑ EGA IV₂, Proposition 2.3.4(iii).
↑ EGA IV₂, Corollaire 2.3.5(i).
↑ EGA IV₂, Corollaire 2.3.5(ii).
↑ EGA IV₂, Corollaire 2.3.5(iii).
↑ EGA IV₂, Proposition 2.3.6(ii).
↑ EGA IV₂, Théorème 2.3.10.
↑ EGA IV₂, Théorème 2.4.6.
↑ EGA IV₂, Remarques 2.4.8(i).
↑ EGA IV₂, Remarques 2.4.8(ii).
↑ EGA IV₂, Corollaire 2.3.12.
↑ EGA IV₂, Corollaire 2.3.14.
↑ EGA IV₃, Théorème 12.1.6.
↑ EGA IV₃, Théorème 12.2.4.
↑ EGA IV₂, Corollaire 6.1.2.
↑ EGA IV₂, Proposition 6.1.5. テンプレート:Mvar が正則という仮定は必要である。例えば、 $ℂ [x^{2}, y^{2}, x y] \subset ℂ [x, y]$ は、テンプレート:Mvar が正則、テンプレート:Mvar が正規、テンプレート:Mvar が全射な有限射だが平坦ではない。参考：Generalizing miracle flatness (Matsumura 23.1) via finite Tor-dimension
↑ EGA IV₂, Corollaire 6.1.4.
↑ EGA IV₂, Corollaire 6.2.2.
↑ ^39.0 ^39.1 EGA IV₂, Proposition 2.1.13.
↑ EGA IV₃, Proposition 11.3.13.
↑ EGA IV₂, Proposition 2.1.14.
↑ EGA IV₂, Proposition 2.2.14.
↑ EGA IV₂, Corollaire 6.5.2.
↑ EGA IV₂, Corollaire 6.5.4.
↑ EGA IV₂, Proposition 2.5.1.
↑ EGA IV₂, Proposition 2.5.2.
↑ EGA IV₂, Proposition 2.6.2.
↑ EGA IV₂, Corollaire 2.6.4 and Proposition 2.7.1.
↑ EGA IV₂, Remarques 2.7.3(iii).
↑ EGA IV₂, Corollaire 2.7.2.
↑ EGA IV₂, Remarques 2.7.3(ii).

[1] EGA IV₂, 2.1.1.

[2] EGA 0_I, 6.7.8.

[3] テンプレート:Cite book

[4] 可換環テンプレート:Mvar 上の加群テンプレート:Mvar が平坦であることと任意のイデアルテンプレート:Mvar についてテンプレート:Math であることは同値である（Stacks Project, Tag 00M5）。このことと、テンプレート:Math は単項イデアル整域なのでイデアルが簡単に分類できることを使ってもわかる。

[5] テンプレート:Cite web

[6] $\otimes^{𝐋}$ はテンプレート:仮リンクを表す記号。

[7] EGA IV₂, Proposition 2.1.3.

[8] EGA IV₂, Corollaire 2.2.11(iv).

[9] EGA IV₂, Corollaire 2.2.13(iii).

[10] EGA IV₂, Corollaire 2.1.6.

[11] EGA IV₂, Corollaire 2.1.7, and EGA IV₂, Corollaire 2.2.13(ii).

[12] EGA IV₂, Proposition 2.1.4, and EGA IV₂, Corollaire 2.2.13(i).

[13] EGA IV₃, Théorème 11.3.1.

[14] EGA IV₃, Proposition 11.3.16.

[15] EGA IV₂, Proposition 2.1.11.

[16] EGA IV₂, Corollaire 2.2.8.

[17] EGA IV₂, Proposition 2.3.7(i).

[18] EGA IV₂, Corollaire 2.2.16.

[19] EGA IV₂, Proposition 2.3.2.

[20] EGA IV₂, Proposition 2.3.4(i).

[21] EGA IV₂, Proposition 2.3.4(ii).

[22] EGA IV₂, Proposition 2.3.4(iii).

[23] EGA IV₂, Corollaire 2.3.5(i).

[24] EGA IV₂, Corollaire 2.3.5(ii).

[25] EGA IV₂, Corollaire 2.3.5(iii).

[26] EGA IV₂, Proposition 2.3.6(ii).

[27] EGA IV₂, Théorème 2.3.10.

[28] EGA IV₂, Théorème 2.4.6.

[29] EGA IV₂, Remarques 2.4.8(i).

[30] EGA IV₂, Remarques 2.4.8(ii).

[31] EGA IV₂, Corollaire 2.3.12.

[32] EGA IV₂, Corollaire 2.3.14.

[33] EGA IV₃, Théorème 12.1.6.

[34] EGA IV₃, Théorème 12.2.4.

[35] EGA IV₂, Corollaire 6.1.2.

[36] EGA IV₂, Proposition 6.1.5. テンプレート:Mvar が正則という仮定は必要である。例えば、 $ℂ [x^{2}, y^{2}, x y] \subset ℂ [x, y]$ は、テンプレート:Mvar が正則、テンプレート:Mvar が正規、テンプレート:Mvar が全射な有限射だが平坦ではない。参考：Generalizing miracle flatness (Matsumura 23.1) via finite Tor-dimension

[37] EGA IV₂, Corollaire 6.1.4.

[38] EGA IV₂, Corollaire 6.2.2.

[#1-39] 39.0 ^39.1 EGA IV₂, Proposition 2.1.13.

[40] EGA IV₃, Proposition 11.3.13.

[41] EGA IV₂, Proposition 2.1.14.

[42] EGA IV₂, Proposition 2.2.14.

[43] EGA IV₂, Corollaire 6.5.2.

[44] EGA IV₂, Corollaire 6.5.4.

[45] EGA IV₂, Proposition 2.5.1.

[46] EGA IV₂, Proposition 2.5.2.

[47] EGA IV₂, Proposition 2.6.2.

[48] EGA IV₂, Corollaire 2.6.4 and Proposition 2.7.1.

[49] EGA IV₂, Remarques 2.7.3(iii).

[50] EGA IV₂, Corollaire 2.7.2.

[51] EGA IV₂, Remarques 2.7.3(ii).

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平坦射

目次

例

奇跡的平坦性

ヒルベルトスキーム

平坦射ではない例

ブローアップ

無限分解

平坦射の性質

基本的な性質

位相的性質

平坦性と次元

降下する性質

関連項目

脚注

参考文献

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平坦射

例

奇跡的平坦性

ヒルベルトスキーム

平坦射ではない例

ブローアップ

無限分解

平坦射の性質

基本的な性質

位相的性質

平坦性と次元

降下する性質

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