双曲型トーラス自己同型写像

力学系理論における双曲型トーラス自己同型写像（そうきょくがたトーラスじこどうけいしゃぞう、テンプレート:Lang-en-short）あるいはトーラス上の双曲型自己同型写像は、ユークリッド空間上の双曲型の線型写像から誘導されるトーラス上の自己同型写像であるテンプレート:Sfn テンプレート:Sfn。アノソフ系の代表的な例であり、力学系の中でも重要な対象でもあるテンプレート:Sfn テンプレート:Sfn。ユークリッド空間上の線型写像が単純な振る舞いしか示さないのに対して、トーラス上の双曲型自己同型写像は非常に豊かな構造を有するテンプレート:Sfn テンプレート:Sfn。

定義

まず、テンプレート:Math次元トーラステンプレート:Math を導入する。幾何学的には、テンプレート:Math は、平面上の正方形テンプレート:Math の上辺と下辺と同一視し、さらに右辺と左辺を同一視して構成できるテンプレート:Sfn。代数的には、実数の組テンプレート:Math とテンプレート:Math に対してテンプレート:Math とテンプレート:Math が整数のときにテンプレート:Math であるという同値関係テンプレート:Math を定義したときの同値類全体が2次元トーラスでもあるテンプレート:Sfn。

$π (x) = [x]$

$L_{A} (𝒙) = A 𝒙 = (\begin{matrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{matrix}) (\begin{matrix} x \\ y \end{matrix})$

ここで、テンプレート:Mvar の成分が全て整数だとすると、テンプレート:Mvar はテンプレート:Math をテンプレート:Math に写すテンプレート:Sfn。すなわち、テンプレート:Math が成り立つテンプレート:Sfn。したがって、テンプレート:Math としたときに、 $A (\begin{matrix} x \\ y \end{matrix})$ と $A (\begin{matrix} x + n \\ y + m \end{matrix})$ をそれぞれテンプレート:Math でトーラス上に射影した点は、 $π \circ A (\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}) = π \circ A (\begin{matrix} x + n \\ y + m \end{matrix})$ という関係が成り立つテンプレート:Sfn テンプレート:Sfn。そのため整数係数行列テンプレート:Mvar を持つ平面上の写像テンプレート:Mvar により、テンプレート:Math で定義されるトーラス上の写像テンプレート:Math が矛盾なく導入できるテンプレート:Sfn テンプレート:Sfn テンプレート:Sfn。

テンプレート:Math およびテンプレート:Math は加法テンプレート:Math2 によってリー群の構造を持つテンプレート:Sfn。トーラスから自分自身への写像テンプレート:Math は、テンプレート:Math という性質を持ち、なおかつ同相写像であることから、テンプレート:Mvar はテンプレート:Math のリー群としての自己同型写像を成すテンプレート:Sfn。このようなテンプレート:Mvar をトーラス自己同型テンプレート:Sfn、トーラス自己同型写像テンプレート:Sfn、トーラス上の自己同型写像テンプレート:Sfnなどと呼ぶ。

テンプレート:Math 上の線型写像が絶対値 1 の固有値を持たないとき、その線型写像あるいは係数行列テンプレート:Mvar は双曲型であるというテンプレート:Sfn テンプレート:Sfn テンプレート:Sfn。すなわち、係数行列テンプレート:Mvar の全ての固有値の絶対値が 1 ではないときに双曲型であるテンプレート:Sfn。テンプレート:Math 行列テンプレート:Mvar の場合、固有値は固有方程式テンプレート:Math の解テンプレート:Math より求められるテンプレート:Sfn。テンプレート:Mvar が双曲型であるようなトーラス自己同型写像テンプレート:Mvar を、双曲型トーラス自己同型テンプレート:Sfn、双曲型トーラス自己同型写像テンプレート:Sfn、トーラス上の双曲型自己同型写像テンプレート:Sfnなどと呼ぶ。

以上はテンプレート:Mathトーラス上での導入だが、一般のテンプレート:Mvar 次元トーラステンプレート:Math 上の双曲型自己同型写像を同様に定義することもできるテンプレート:Sfn テンプレート:Sfn テンプレート:Sfn。

ユークリッド空間上の線型写像が示す振る舞いは単純な構造であるのに対し、それから誘導される双曲型トーラス自己同型写像の構造は非常に豊かであるテンプレート:Sfn テンプレート:Sfn。テンプレート:Mvar は以下のような性質を持つ。