三線極線

ユークリッド幾何学において、三線極線（さんせんきょくせん、英:trilinear polar）とは三角形と点について一意的に決まる直線のひとつである。1865年、フランスの数学者ポンスレ (1788–1867)によって提言された。

定義

テンプレート:Mvarの三線極線テンプレート:Legend テンプレート:Legend テンプレート:Legend-line テンプレート:Legend-line

テンプレート:Math と点テンプレート:Mvarのチェバ三角形の配景の軸をテンプレート:Mvarの三線極線と言う。

つまりテンプレート:Mvar とテンプレート:Mvarの交点をテンプレート:Mvar、それぞれ直線の組テンプレート:Mathの交点をテンプレート:Mvarとすると、デザルグの定理よりテンプレート:Mvarは共線である。このとき直線テンプレート:Mvarをテンプレート:Mvarの三線極線という。

テンプレート:Mathにたいして直線テンプレート:Mvarが三線極線となるような、点テンプレート:Mvarをテンプレート:Mvarの三線極点（trilinear pole）または三線極と言う。

三線座標でテンプレート:Mvarを テンプレート:Mathとするとテンプレート:Mvarの三線極線は以下の等式で表される。

$\frac{x}{p}+\frac{y}{q}+\frac{z}{r}=0.$

三線極点

直線テンプレート:Mvarの三線極テンプレート:Legend-lineテンプレート:Legend テンプレート:Legend テンプレート:Legend-line

テンプレート:Mvarとテンプレート:Mvarの交点をそれぞれテンプレート:Mvar、直線の組テンプレート:Mathの交点をそれぞれテンプレート:Mvarとする。 テンプレート:Mathとテンプレート:Math は配景の関係にあり、その配景の中心テンプレート:Mvarはテンプレート:Mvarの三線極点となる。

三線極線の例

以下に有名な三線極線を挙げる。

• 重心の三線極線、無限遠直線
• 類似重心の三線極線、ルモワーヌ軸
• 垂心の三線極線、垂軸
• 三角形の頂点に関しては、三線極線は定義されない

三線極点の束

定点テンプレート:Mvarを通る直線の三線極の軌跡は外接円錐曲線となる。

三線座標でテンプレート:Mvarをテンプレート:Math 、テンプレート:Mvarをテンプレート:Math とする。テンプレート:Mvarの三線極線は以下の式で表される。

$\frac{x}{X}+\frac{y}{Y}+\frac{z}{Z}=0.$

この直線がテンプレート:Mvarを通る場合、以下のように書くことができる。

$\frac{x_0}{X}+\frac{y_0}{Y}+\frac{z_0}{Z}=0.$

逆に、この式を満たすテンプレート:Mvarの軌跡は以下の式で表すことができる。

$\frac{x_0}{x}+\frac{y_0}{y}+\frac{z_0}{z}=0.$

この式が表す曲線は外接円錐曲線テンプレート:Mvarとなる。

テンプレート:Mathと、外接円錐曲線テンプレート:Mvarに対する極三角形はテンプレート:Mvarを中心として配景的である。 例えば、外接円の極三角形は外接三角形で、外接円上の点に対する三線極線は類似重心を通る。

関連

• Central lines
• 三角形の中心
• 極と極線
• 直極点

外部リンク

• Geometrikon page : 三線極線
• Geometrikon page : 直線の等長共役