ミケルの定理

テンプレート:Mathとそのそれぞれの辺上の点テンプレート:Mathに対するミケルの定理（ミケル点テンプレート:Mvar）。

ミケルの定理（みけるのていり、テンプレート:Lang-en）はフランスの高校教師であるオーギュスト・ミケルの名を冠する幾何学の諸定理である。一般にミケルの定理と言えば、次の定理を指す。

三角形の3辺またはそのテンプレート:仮リンクに点を一つずつとる。うち2点と、その間の三角形の頂点を通る円は、一点で交わる。

他のミケルの定理と区別して、ミケルの三角形定理とも呼ばれる。ミケルの発見した諸定理は、ジョゼフ・リウヴィルのJournal de Mathématiques Pures et Appliquées によって出版された。

厳密にいうと、あるテンプレート:Mathについて、直線テンプレート:Math上にそれぞれ点テンプレート:Mathをとり、テンプレート:Mathの外接円を描く。3つのミケル円は一点で交わる。さらに3つの角テンプレート:Mathは等しくまた、テンプレート:Math も等しい。

この定理は、 内接四角形の角の性質と有向角を用いることで示すことができる。円テンプレート:Mathの交点$M\ne B^{\prime }$について$\mathrm{\angle }{A}^{\prime }M{C}^{\prime }=2\pi -\mathrm{\angle }{B}^{\prime }M{A}^{\prime }-\mathrm{\angle }{C}^{\prime }M{B}^{\prime }=2\pi -(\pi -C)-(\pi -A)=A+C=\pi -B$ と角度追跡することによりテンプレート:Mvarの共円が示されてミケルの定理を得る。

Pivot theorem

幾つかの三角形のPivot Theorem

ミケルの定理を共線でない3点テンプレート:Mathの成す三角形に着目した場合はテンプレート:HarvtxtによってPivot theorem（ミケルの要の定理）と名づけられている。

ミケル点の三線座標

テンプレート:Mathのテンプレート:Mathに対するfractional distances（線分の長さを1とした時の、線分の始点からの距離）をそれぞれテンプレート:Math、線分テンプレート:Mathの長さをそれぞれテンプレート:Mvarとしてそのミケル点の三線座標テンプレート:Mathは以下の式で表される。

$x=a(-a^2{d}_a{d_a}^{\prime }+b^2{d}_a{d}_b+c^2{d_a}^{\prime }{d_c}^{\prime })$

$y=b(a^2{d_a}^{\prime }{d_b}^{\prime }-b^2{d}_b{d_b}^{\prime }+c^2{d}_b{d}_c)$

$z=c(a^2{d}_a{d}_c+b^2{d_b}^{\prime }{d_c}^{\prime }-c^2{d}_c{d_c}^{\prime }),$

ただしテンプレート:Math である。

テンプレート:Mathである場合、ミケル点は外心テンプレート:Mathになる。

ミケルの定理の逆

ミケルの定理の逆は次のような定理である。点テンプレート:Mvarを通る3円について、1つの円上に点テンプレート:Mvar をとり、2つ目の円とのテンプレート:Mvarでないほうの交点の一つをテンプレート:Mvarとして、直線テンプレート:Mvarと2つ目の円のテンプレート:Mvarでない方の交点をテンプレート:Mvarとする。同様に、3つ目の円に対してテンプレート:Mvarからテンプレート:Mvarをつくる。このとき点テンプレート:Mvarは共線であり、テンプレート:Mathの辺上にテンプレート:Mathが存在する。

ミケルの四辺形定理

ミケルの五点円定理

ミケルの六円定理:4円の隣り合う円との交点の一方が共円なら、もう一方の交点も共円であるという定理。

相似な内接三角形

テンプレート:Mathが三角形テンプレート:Mathに内接し相似であるとき、任意のテンプレート:Mathにおいて、そのミケル点は不動であるテンプレート:Rp。

ミケルの四辺形定理

テンプレート:仮リンクの辺から成る4つの三角形の外接円は一点で交わる。これをミケルの四辺形定理またはミケルとシュタイナーの四辺形定理（Miquel and Steiner's Quadrilateral Theorem）という。また、この共点を四辺形のミケル点という。

この定理は、1827,1828年にヤコブ・シュタイナーによってジョセフ・ジェルゴンヌ の出版物（Annales de Gergonne）で発表されたが、厳密な証明はミケルによって与えられた。

ミケルの五点円定理

凸な五角形テンプレート:Mvarについて、その辺を延長し星形五角形テンプレート:Mvarをつくる。5つの円テンプレート:Mathの、隣り合う円の元の五角形の頂点でない方の交点は共円である。これをミケルの五点円定理（Miquel's pentagon theorem）という。この定理の逆として、五円定理が知られている。

ミケルの六円定理

円上に四点テンプレート:Mvarをとり、隣り合う2点を通る円延べ4円を描く。それぞれの円について、4円の隣り合う円との交点の一方が共円ならば、もう一方の交点も共円である。これをミケルの六円定理（Miquel's six circle theorem）または六円定理（six circles theorem）、四円定理（four circles theorem）という。ただし、六円定理は別の定理を指すこともある。この定理は一般にはシュタイナーによるものとされているが、証明を行ったのはミケルのみである。 David G. Wellsはこの定理もMiquel's theoremと呼んでいる。

三次元におけるミケルの定理

三次元のミケルの定理:4つの球の交円（黒）は一点で交わる。

ミケルの定理は三次元に一般化されている。三角形を四面体に、円を球に置き換える。4つの球は一点で交わる。

関連項目

• クリフォードの定理
• 八円定理
• テンプレート:仮リンク
• テンプレート:仮リンク

参考文献

• テンプレート:Citation
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外部リンク

• テンプレート:MathWorld
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• Miquels' Theorem as a special case of a generalization of Napoleon's Theorem at Dynamic Geometry Sketches
• テンプレート:高校数学の美しい物語