乗数イデアル層

乗数イデアル層（じょうすうイデアルそう、テンプレート:Lang-en-short）とは、複素多様体上のある局所可積分条件を満たす正則関数のなすテンプレート:仮リンクである。解析的な対象と代数的な対象をつなぎ特異点を処理してくれるテンプレート:Sfn乗数イデアル層は、シン＝トゥン・ヤウによれば、現代の高次元代数幾何学において中心的な役割を演じているテンプレート:Sfn。

乗数イデアル層は テンプレート:Harvtxt によってファノ多様体上のケーラー・アインシュタイン計量の研究の中で導入された。設定は異なるが考え方自体は テンプレート:Harvtxt が [[ノイマン境界条件|テンプレート:Math ノイマン問題]]を研究した際に導入していた。可換環論の分野では テンプレート:Harvtxt がテンプレート:仮リンクとの関連で"adjoint ideals"という名前で導入して研究していたテンプレート:Sfn。

複素解析

定義

テンプレート:Mvar を複素多様体、テンプレート:Mvar を テンプレート:Mvar 上の多重劣調和関数とするテンプレート:Sfn。テンプレート:Mvar に付随する乗数イデアル層 テンプレート:Math を、正則関数 テンプレート:Mvar であって テンプレート:Math がルベーグ測度で局所可積分になるようなものの層として定義するテンプレート:Efn2。このように定義されたイデアル層 テンプレート:Math は解析的連接層となることが知られている。

諸例

(1)テンプレート:Sfn 正の実数 テンプレート:Math を取って関数 テンプレート:Mvar を テンプレート:Math で定義する。これは多重劣調和関数になっていて、その乗数イデアル層 テンプレート:Math は、テンプレート:Harvtxt によれば、テンプレート:Math を満たす テンプレート:Math による単項式 テンプレート:Math たちで生成されるイデアルと等しい。

(2)テンプレート:Sfnテンプレート:Sfn テンプレート:Mvar を滑らかな複素代数多様体（複素多様体とみる）、テンプレート:Math を有効な [[因子 (代数幾何学)|テンプレート:Math 因子]]とする。テンプレート:Mvar の開集合 テンプレート:Mvar をその上で テンプレート:Math が主になるようなものとし テンプレート:Math を テンプレート:Mvar 上の正則関数で テンプレート:Math を定義するようなものとする。以上の状況のもとで テンプレート:Mvar 上の関数 テンプレート:Math を

${\phi }_D=\sum a_i\log |g_i|$

で定義する。これは多重劣調和関数になっていて付随する乗数イデアル層 テンプレート:Math は

$𝒥({\phi }_D){=}_{\text{locally}}\{f\in {𝒪}_X\mid |f{|}^2/\prod |g_i{|}^{2a_i}\in L_{\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{c}}^1\}$

となる。テンプレート:Math は テンプレート:Math の取り方によるが テンプレート:Math は テンプレート:Math の取り方によらない。

(3)テンプレート:Sfn 状況は(2)と同じとする。正の実数 テンプレート:Mvar をとって テンプレート:Mvar 上の関数 テンプレート:Math を

${\phi }_D=c\cdot \log (\sum |g_i{|}^2)$

で定義する。これは多重劣調和関数になっていてテンプレート:Sfn付随する乗数イデアル層 テンプレート:Math は

$𝒥({\phi }_D){=}_{\text{locally}}\{f\in {𝒪}_X\mid |f{|}^2/(\sum |g_i{|}^2{)}^c\in L_{\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{c}}^1\}$

となる。

代数幾何

代数幾何学では次のように乗数イデアル層が定義されるテンプレート:Sfn。テンプレート:Mvar を複素数体上の滑らかな代数多様体、テンプレート:Mvar をその上の有効な [[因子 (代数幾何学)|テンプレート:Math 因子]]とする。テンプレート:Math を テンプレート:Mvar のログ特異点解消とする。つまり テンプレート:Math と テンプレート:Mvar の例外因子を足したものが単純正規交差因子となるような滑らかな代数多様体 テンプレート:Math からの射影的双有理射とする。このとき テンプレート:Mvar の乗数イデアル層 テンプレート:Math を

$𝒥(D)={\mu }_{*}{𝒪}_{X^{\prime }}(K_{X^{\prime }/X}-[{\mu }^{*}D])$

で定義する。ここで テンプレート:Math は テンプレート:Math と テンプレート:Math をそれぞれ テンプレート:Mvar と テンプレート:Math を標準因子とすると テンプレート:Math で定義される相対的標準因子、テンプレート:Math は テンプレート:Math の係数を切り下げたものテンプレート:Sfnである。

テンプレート:Math はログ特異点解消の取り方によらない テンプレート:Math のイデアル層になっている。テンプレート:Mvar が整数係数の因子であれば テンプレート:Math が成り立つテンプレート:Sfn。

この層はログ特異点解消 テンプレート:Math の上で層にテンプレート:仮リンク を使いその層の順像を取ることで テンプレート:Mvar に対する何等かの性質を得ようとするときに自然に現れるテンプレート:Sfn。

乗数イデアル層には テンプレート:Math 因子の分数部分がどのくらい正規交差因子から違うかの情報が含まれているテンプレート:Sfn。

参考文献

書籍

• テンプレート:Cite book

解説記事

• テンプレート:Cite web
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  • テンプレート:Cite
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• テンプレート:Cite web

原論文

• テンプレート:Cite journal
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関連項目

• 標準特異点
• テンプレート:仮リンク
• テンプレート:仮リンク