条件収束

数学において、級数あるいは積分が条件収束（じょうけんしゅうそく）するとは、収束するが絶対収束しないことをいう。

定義

正確には、級数

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$

が条件収束する (converge conditionally) とは、

$\underset{m\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sum _{n=0}^m{a}_n$

が存在して有限の数である（テンプレート:Math や テンプレート:Math ではない）が、

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\left|a_n\right|=\mathrm{\infty }$

であることをいう。

古典的な例は次の交代級数

$1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{5}-\cdots =\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{n+1}}{n}$

であり、これは テンプレート:Math に収束するが、絶対収束しない（調和級数を参照）。

ベルンハルト・リーマン (Bernhard Riemann) はテンプレート:仮リンクと呼ばれる次の定理を証明した。条件収束する級数は、項の順序を入れ替えることによって、テンプレート:Math や テンプレート:Math を含むどんな和にも収束させることができる。

典型的な条件収束積分は テンプレート:Math の非負の実軸上の積分である（フレネル積分を参照）。

関連項目

• 絶対収束
• 無条件収束

参考文献

• Walter Rudin, Principles of Mathematical Analysis (McGraw-Hill: New York, 1964).