ピアソンの積率相関係数

散布図とそのピアソンの積率相関係数の一覧。相関は線形性および直線関係の向きを反映するが（上段）、その関係の傾きや（中段）、非直線関係の多くの面も反映しない（下段）。中央の図の傾きは0であるが、この場合はYの分散が0であるため相関係数は定義されない。

ピアソンの積率相関係数（ピアソンのせきりつそうかんけいすう、テンプレート:Lang-en-short）とは、2つのデータまたは確率変数の間にある線形な関係の強弱を測る指標である。カール・ピアソンが研究した。一般的に、単に相関係数といえばピアソンの積率相関係数を指す。

ピアソンの積率相関係数は無次元量で、−1以上1以下の実数に値をとる。相関係数が正のとき確率変数には正の相関が、負のとき確率変数には負の相関があるという。また相関係数が0のとき確率変数は無相関であるという。

たとえば、先進諸国の失業率と実質経済成長率は強い負の相関関係にあり、相関係数を求めれば−1に近い数字になる。

相関係数が ±1 に値をとることは、2つのデータ（確率変数）が線形の関係にあるときに限る。また2つの確率変数が互いに独立ならば相関係数は 0 となるが、逆は成り立たない。

定義

母集団相関係数

正の分散を持つ確率変数 テンプレート:Math2 が与えられたとき、共分散を $\mathrm{cov}[X,Y]$、標準偏差を テンプレート:Math2 とおく。このとき

$\rho =\frac{\mathrm{cov}[X,Y]}{{\sigma }_X{\sigma }_Y}$

を確率変数 テンプレート:Mvar と テンプレート:Mvar の母集団のピアソンの積率相関係数という。これは期待値を テンプレート:Math で表せば

$\rho =\frac{E\left[(X-E\left[X\right])(Y-E\left[Y\right])\right]}{\sqrt{E\left[{(X-E\left[X\right])}^2\right]E\left[{(Y-E\left[Y\right])}^2\right]}}$

と書き直すこともできる。

標本相関係数

大きさの同じ2個のデータ テンプレート:Math2 に対して、標本共分散を テンプレート:Math、標本標準偏差をそれぞれ テンプレート:Math2 とおく。このとき

$r:=\frac{s_{xy}}{s_x{s}_y}=\frac{\sum _{i=1}^n(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{\sqrt{\sum _{i=1}^n(x_i-\bar{x}{)}^2\sum _{i=1}^n(y_i-\bar{y}{)}^2}}$

を標本相関係数 (sample correlation coefficient) あるいは標本のピアソンの積率相関係数という。ただし、テンプレート:Math2 はそれぞれデータ テンプレート:Math2 の平均値で、$\bar{x}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{x}_i$, $\bar{y}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{y}_i$ である。

相関係数は、幾何学的には次のような意味になる。

データ テンプレート:Math2 をそれぞれ テンプレート:Mvar 次の列ベクトル テンプレート:Math と考えると、テンプレート:Math の偏差ベクトルはそれぞれ以下のようになる。

$𝒙-\bar{x}1=\left[\begin{array}{c}{x}_1-\bar{x}\\ x_2-\bar{x}\\ ⋮\\ x_n-\bar{x}\end{array}\right],𝒚-\bar{y}1=\left[\begin{array}{c}{y}_1-\bar{y}\\ y_2-\bar{y}\\ ⋮\\ y_n-\bar{y}\end{array}\right]$

ただし、テンプレート:Math は全ての成分が1である テンプレート:Mvar 次の列ベクトルで、テンプレート:Math である。このとき、テンプレート:Math の偏差ベクトル テンプレート:Math のなす角を テンプレート:Mvar としたときの

$\cos \theta =\frac{⟨𝒙-\bar{x}1,𝒚-\bar{y}1⟩}{\Vert 𝒙-\bar{x}1\Vert \Vert 𝒚-\bar{y}1\Vert }$

が標本相関係数 テンプレート:Mvar である。ここで、テンプレート:Math は内積を表す。

データ テンプレート:Math が2次元正規分布からの標本のとき、標本相関係数 テンプレート:Mvar は母集団相関係数 テンプレート:Mvar の最尤推定量ではあるが、不偏推定量ではなく（絶対値で見ると）小さめに見積もりがちである。また外れ値に大きく影響してしまう。

例

下のような$X$と$Y$の同時確率分布を考える。

$\mathrm{P}(X=x,Y=y)$	$y=-1$	$y=0$	$y=1$
$x=0$	$0$	$1/3$	$0$
$x=1$	$1/3$	$0$	$1/3$

この同時分布の場合、周辺分布は以下のようになる。

$\mathrm{P}(X=x)=\{\begin{array}{cc}1/3& \text{for }x=0\\ 2/3& \text{for }x=1\end{array}$

$\mathrm{P}(Y=y)=\{\begin{array}{cc}1/3& \text{for }y=-1\\ 1/3& \text{for }y=0\\ 1/3& \text{for }y=1\end{array}$

ここから以下の期待値および分散値が得られる。

${\mu }_X=2/3$

${\mu }_Y=0$

${\sigma }_X^2=2/9$

${\sigma }_Y^2=2/3$

したがって、相関係数${\rho }_{X,Y}$は次の通り。

$\begin{array}{cc}{\rho }_{X,Y}& =\frac{1}{{\sigma }_X{\sigma }_Y}\mathrm{E}[(X-{\mu }_X)(Y-{\mu }_Y)]\\ & =\frac{1}{{\sigma }_X{\sigma }_Y}\sum _{x,y}(x-{\mu }_X)(y-{\mu }_Y)\mathrm{P}(X=x,Y=y)\\ & =(1-2/3)(-1-0)\frac{1}{3}+(0-2/3)(0-0)\frac{1}{3}+(1-2/3)(1-0)\frac{1}{3}=0.\end{array}$

（すなわち「無相関」である）

関連項目

• 統計学
  • 回帰分析
  • コピュラ (統計学)
  • 相関関数
  • 交絡
  • 相関関係と因果関係、擬似相関、錯誤相関
• 自己相関
• HARKing