外れ値

外れ値（はずれち、テンプレート:Lang-en-short）は、統計学において、他の値から大きく外れた値のこと。測定ミス・記録ミス等に起因する異常値とは概念的には異なるが、実用上は区別できないこともある。ロバスト統計では、外れ値に対しての頑健性確保を重視する。

英語のoutlierには「他より著しく異なるため一般的結論を導けない人や物や事実」を指す意味もある^[1]^[2]。

検定

外れ値かどうか検定したい標本について、偏差を不偏標準偏差で割った検定統計量

τ_{1} = \frac{x_{1} - μ}{σ}

を求め（xテンプレート:Sub は標本値、μ は平均、σ は標準偏差）、この値（両側検定をする場合はこの絶対値）が有意点より大きいかどうかで検定する。

簡単な方法では、2または3を有意点とする。つまり、μ ± 2–3 σ の外なら外れ値とする。

より精密には、正規分布を仮定して、スミルノフ・グラブス (テンプレート:En) 検定を使う。サンプルサイズを n、所要の有意水準を α、自由度 n - 2 のt分布の α / n × 100 パーセンタイルを t として、

τ = \frac{(n - 1) t}{\sqrt{n (n - 2) + n t^{2}}}

を有意点とする。平均値から最も外れている1つのデータのみを検定し、それが外れ値と判定されたら、それを除外した n － 1 のサンプルサイズにおいて最も外れているデータを検定し、以下、外れ値が検出されなくなるまでこれを繰り返す。

トンプソン (テンプレート:En) 検定では、

t = \frac{τ \sqrt{n - 2}}{\sqrt{n - 1 - τ^{2}}}

を使う。計算式の都合上、スミルノフ・グラブス検定とは逆に、標本値の検定統計量 τテンプレート:Sub から tテンプレート:Sub を経て有意水準 αテンプレート:Sub を求めることが多い。n が十分大きければスミルノフ・グラブス検定と同じ結果になる。