シンプソンの公式

関数 テンプレート:Math テンプレート:Color の、二次関数 テンプレート:Math テンプレート:Colorによる近似。

シンプソンの公式（シンプソンのこうしき、テンプレート:Lang-en-short）とは、数値解析の分野における、数値積分の方法の一つである。定積分

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx$

の近似値を、関数 テンプレート:Math を二次関数で近似することによって得る。名前は、トーマス・シンプソンに因んでいる。次数2の閉じたニュートン・コーツの公式である。シンプソン則ともいう。

基本

シンプソンの公式は、テンプレート:Math を二次関数 テンプレート:Math で近似することによって導かれる。ここで、テンプレート:Math は テンプレート:Math の テンプレート:Math における値をそれぞれとる。テンプレート:Math は、ラグランジュ補間によって、次の多項式（テンプレート:Mvar の二次式）になることが分かる。

$P(x)=f(a)\frac{(x-m)(x-b)}{(a-m)(a-b)}+f(m)\frac{(x-a)(x-b)}{(m-a)(m-b)}+f(b)\frac{(x-a)(x-m)}{(b-a)(b-m)}.$

この多項式を範囲 [a, b] で積分すると、次のシンプソンの公式が得られる。

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx\approx \underset{a}{\overset{b}{\int }}P(x)dx=\frac{b-a}{6}[f(a)+4f\left(\frac{a+b}{2}\right)+f(b)].$

シンプソンの公式による、積分の近似の誤差は、a と b の間にある テンプレート:Mvar によって、次式で見積もれる（テンプレート:Mvar の5次式）。

$-\frac{h^5}{90}{f}^{(4)}(\xi )$

ただし、テンプレート:Math。さらに テンプレート:Math が2回微分可能で テンプレート:Mvar が凸関数であるとき、定積分は次の下限と上限とで抑えられる。

$(b-a)f\left(\frac{a+b}{2}\right)+\frac{1}{3}{h}^3{f}^{″}\left(\frac{a+b}{2}\right)\le \underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx\le \frac{b-a}{6}[f(a)+4f\left(\frac{a+b}{2}\right)+f(b)].$

合成シンプソン公式

シンプソンの公式は、積分範囲 [a, b] が十分小さい場合であれば適当な近似であることが分かる。したがって、積分範囲が大きい場合は、積分範囲を小さな部分区間に分割し、各部分区間についてシンプソンの公式を適用し、その結果を足し合わせるという方法が考えられる。この方法は、合成シンプソン公式（composite Simpson's rule）として知られている。

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx\approx \frac{h}{3}[f(x_0)+2\sum _{j=1}^{n/2-1}f(x_{2j})+4\sum _{j=1}^{n/2}f(x_{2j-1})+f(x_n)].$

ただし、n は [a, b] を等しく偶数個に分割した部分区間の個数、テンプレート:Math2 は各部分区間の長さ、テンプレート:Math、特に、テンプレート:Math。この式は、次のようにも書ける。

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx\approx \frac{h}{3}[f(x_0)+4f(x_1)+2f(x_2)+4f(x_3)+\cdots +4f(x_{n-1})+f(x_n)].$

合成シンプソン公式に基づく最大誤差は、次式で見積もることができる。

$-\frac{h^4}{180}(b-a)f^{(4)}(\xi ).$

関連記事

• ニュートン・コーツの公式

参考文献

• テンプレート:Cite book

外部リンク

• テンプレート:高校数学の美しい物語
• テンプレート:MathWorld