対応 (数学)

数学における対応（たいおう、Correspondence）は、古い文献に頻繁に現れていた多価函数（多値写像）の概念を明確にしたものである。通常の意味の函数（写像）が定義集合の各元に値の集合の一つの元を値として割り当てるのに対して、多価函数は値の集合の複数の元を割り当てることが許されるのであった。対応の概念を考えるときには、これら複数の函数値を一つの集合（値の集合の部分集合）として割り当てる。言い換えれば、対応とは定義域の各元に終域の部分集合を割り当てることである。

定義

集合 テンプレート:Mvar から テンプレート:Mvar への（部分）対応とは、直積集合 テンプレート:Math の部分集合 テンプレート:Mvar が与えられたとき、三つ組 テンプレート:Math のことをいう。このとき、$$f:A\to B,A\stackrel{f}{\to }B,f:A⊸B$$ などと表す。テンプレート:Mvar はそれぞれ対応 テンプレート:Mvar の始域 (initial set, source)、終域、テンプレート:Ill2と呼ばれる。グラフの各成分への射影$$D(f)=\mathrm{dom}(f):={\mathrm{pr}}_l(G)=\{a\in A\mid (a,\mathrm{\exists }b)\in G\}$$ は テンプレート:Mvar の定義域といい、$$V(f)=\mathrm{ran}(f):={\mathrm{pr}}_r(G)=\{b\in B\mid (\mathrm{\exists }a,b)\in G\}$$ を テンプレート:Mvar の像または値域と呼ぶ。テンプレート:Math であるとき、テンプレート:Mvar は（左）全域的対応あるいは単に対応であるといい、テンプレート:Math であるとき テンプレート:Mvar は全射あるいは右全域的対応という。左全域的かつ右全域的であるときに限って対応と呼ぶこともあるテンプレート:Sfn。

対応 テンプレート:Math が与えられたとき、テンプレート:Math の元 テンプレート:Mvar に対して、テンプレート:Mvar の部分集合（空集合であってもよい）$$f(a):=\{b\in B\mid (a,b)\in G\}$$は、対応 テンプレート:Mvar による テンプレート:Mvar の像または値 (value) と呼ばれる。このとき、$$G(f)=\{(a,b)\mid a\in A,b\in f(a)\}$$ は テンプレート:Mvar のグラフ テンプレート:Mvar に一致する。

対応と関係

テンプレート:Main 対応 テンプレート:Math が与えられているとき、テンプレート:Mvar の元 テンプレート:Mvar と テンプレート:Mvar の元 テンプレート:Mvar に対して テンプレート:Math と置いて得られる テンプレート:Math は二項関係である。逆に二項関係 テンプレート:Math が与えられたとき、テンプレート:Math に対して、テンプレート:Math を割り当てる対応 テンプレート:Math が定まる。

直積の部分集合をグラフとして定まるという意味では、対応は二項関係と同じ概念を表すものと考えることができるが、対応というときはある集合から別な集合へ元を写すというニュアンスが強い。例えば、対応 テンプレート:Math に対して、テンプレート:Math となるような テンプレート:Mvar の元 テンプレート:Mvar を対応 テンプレート:Mvar の不動点という。

対応によって、一つの元に（部分集合に属する）複数の元が割り当てられているとみなすと、多価函数に近いものと考えることもできるが、対応による像の濃度は元ごとに異なっていてもよいという点で多価函数とは異なる。

対応の相等

二つの対応 テンプレート:Math と テンプレート:Math が相等しい: テンプレート:Math とは、順序三つ組としての相当をいう。これは、始域、終域を共有し、始域の各元の像が常に等しいこと、すなわち集合として テンプレート:Math であって、なおかつどんな テンプレート:Math に対しても、テンプレート:Math を満たすことである。

なお、終域を重視しない立場もあり、その場合はグラフの相等 テンプレート:Math を以って対応の相等 テンプレート:Math と定める。テンプレート:Math となるための必要十分条件は テンプレート:Math かつ テンプレート:Math ならば テンプレート:Math を満たすことであり、また、テンプレート:Math と テンプレート:Math が順序三つ組として相等であることである。

逆対応

テンプレート:Seealso 対応 テンプレート:Math が与えられているとき、$$G(g)=\{(b,a)\in B\times A\mid (a,b)\in G(f)\}$$ をグラフとする対応 テンプレート:Math を テンプレート:Mvar の逆対応と呼び、テンプレート:Math で表す。

写像

定義

対応 テンプレート:Math は、

「各元 テンプレート:Math に対して テンプレート:Math となるような テンプレート:Math が一つしかない（すなわち、テンプレート:Mvar のどの元 テンプレート:Mvar についても テンプレート:Math がただ一つの元からなる）」

という条件をみたすとき、部分写像（一意対応）という。特に テンプレート:Math（全域的）なとき写像と呼ばれる。

対応 テンプレート:Mvar が（部分）写像であるとき、テンプレート:Math となることを テンプレート:Math と略記して、この元 テンプレート:Mvar を テンプレート:Mvar の像と呼ぶ。

写像の言葉で言えば、集合 テンプレート:Mvar から集合 テンプレート:Mvar への対応 テンプレート:Mvarとは、テンプレート:Mvar から テンプレート:Mvar の冪集合 テンプレート:Math への写像、すなわち集合値写像$$\phi :A\to 𝒫(B)$$ として理解できる。

参考文献

• テンプレート:Cite book

関連項目

• 集合
• 二項関係

外部リンク

• テンプレート:Nlab
• テンプレート:ProofWiki
• テンプレート:SpringerEOM