三角積分

三角積分（さんかくせきぶん、テンプレート:Lang-en）は数学において、三角関数を含む積分によって定義される特殊関数の一つである。

定義

正弦積分 (テンプレート:En) は正弦関数を含む積分によって定義される関数である。

$\begin{array}{cc}& \mathrm{Si}(z)=\underset{0}{\overset{z}{\int }}\frac{\sin t}{t}\mathrm{d}t\\ & \mathrm{si}(z)=-\underset{z}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\sin t}{t}\mathrm{d}t=\mathrm{Si}(z)-\frac{\pi }{2}\end{array}$

被積分関数は非正規化Sinc関数といい、球ベッセル関数のα=0のときの値に等しい。

余弦積分 (テンプレート:En) は余弦関数を含む積分によって定義される関数である。

$\mathrm{Ci}(z)=-\underset{z}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\cos t}{t}\mathrm{d}t$

複素関数としての余弦積分は多価であるが、次のように複素対数関数と正則関数の和で表すことができる。

$\begin{array}{cc}\mathrm{Ci}(z)& =\gamma +\log z-\mathrm{Cin}(z)\\ \mathrm{Cin}(z)& =\underset{0}{\overset{z}{\int }}\frac{1-\cos t}{t}\mathrm{d}t\end{array}$

性質

微分積分

• $\frac{d}{dz}\mathrm{Si}(z)=\frac{d}{dz}\mathrm{si}(z)=\frac{\sin (z)}{z}$
• $\frac{d}{dz}\mathrm{Ci}(z)=\frac{\cos (z)}{z}$
• $\int \mathrm{Si}(z)dz=z\mathrm{Si}(z)+\cos (z)+C$
• $\int \mathrm{Ci}(z)dz=z\mathrm{Ci}(z)-\sin (z)+C$

また、Si(z)のz→∞のときの値

$\underset{z\to \mathrm{\infty }}{\lim }\mathrm{Si}(z)=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\sin (t)}{t}dt=\frac{\pi }{2}$

はディリクレ積分といい、複素積分などを用いることによって示せる。

級数展開

ローラン級数

$\mathrm{Si}(z)=z\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^k{z}^{2k}}{(2k+1{)}^2(2k)!}$

$\mathrm{Ci}(z)=\gamma +\log (z)+\frac{1}{2}\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^k{z}^{2k}}{k(2k)!}$

ベッセル級数

$\mathrm{Si}(z)=\pi \sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{J}_{\frac{1}{2}+k}(\frac{z}{2}{)}^2$

超幾何級数

$\mathrm{Si}(z)=z\cdot {}_2{F}_1[\begin{array}{c}\frac{1}{2}\\ \frac{3}{2},\frac{3}{2}\end{array};-\frac{z^2}{4}]$

$\begin{array}{cc}\mathrm{Ci}(z)& =\gamma +\log z-\frac{z^2}{4}\cdot {}_2{F}_3[\begin{array}{c}1,1\\ 2,2,\frac{3}{2}\end{array};-\frac{z^2}{4}]\\ \end{array}$

指数積分との関係

$\mathrm{Ein}(\pm iz)=\mathrm{Cin}(z)\pm i\mathrm{Si}(z)$

参考文献

• テンプレート:AS refテンプレート:Cite arXiv
• テンプレート:Cite book
• テンプレート:Cite web
• テンプレート:Dlmf

関連項目

• 一般化された超幾何関数
• 三角関数
• 指数積分
• Sinc関数
• ディリクレ積分
• 特殊関数
• ベッセル関数

外部リンク

• Si(z) - Wolfram|Alpha (wolframalpha.com)
• Ci(z) - Wolfram|Alpha (wolframalpha.com)
• Sine integral: Series representations (wolfram.com)
• Cosine integral: Representations through more general functions (wolfram.com)
• 正弦積分 Si(x) - 高精度計算サイト (casio.jp)

• http://mathworld.wolfram.com/SineIntegral.html
• テンプレート:Springer
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