Qザールシュッツの和公式

テンプレート:小文字 qザールシュッツの和公式(q-Saalschütz summation formula)はザールシュッツの定理のq-類似であり、q超幾何級数 $_{3} ϕ_{2}$ の和を与える公式である^[1]。

_{3} ϕ_{2} [\begin{matrix} a, b, q^{- n} \\ c, \frac{a b}{c} q^{- n + 1} \end{matrix}; q, q] = \frac{(\frac{c}{a}; q)_{n} (\frac{c}{b}; q)_{n}}{(\frac{c}{a b}; q)_{n} (c; q)_{n}}

但し、 $(a; q)_{n}$ はqポッホハマー記号である。

証明

qザールシュッツの和公式はハイネの変換式から導かれる。ハイネの変換式を反復すると

\begin{matrix} _{2} ϕ_{1} [\begin{matrix} a, b \\ c \end{matrix}; q, z] & = \frac{(b; q)_{\infty} (a z; q)_{\infty}}{(c; q)_{\infty} (z; q)_{\infty}}_{2} ϕ_{1} [\begin{matrix} z, \frac{c}{b} \\ a z \end{matrix}; q, b] \\ = \frac{(b; q)_{\infty} (a z; q)_{\infty}}{(c; q)_{\infty} (z; q)_{\infty}} \cdot \frac{(\frac{b}{c}; q)_{\infty} (b z; q)_{\infty}}{(a z; q)_{\infty} (b; q)_{\infty}}_{2} ϕ_{1} [\begin{matrix} b, \frac{a b z}{c} \\ b z \end{matrix}; q, \frac{c}{b}] \\ = \frac{(b; q)_{\infty} (a z; q)_{\infty}}{(c; q)_{\infty} (z; q)_{\infty}} \cdot \frac{(\frac{b}{c}; q)_{\infty} (b z; q)_{\infty}}{(a z; q)_{\infty} (b; q)_{\infty}} \cdot \frac{(\frac{a b z}{c}; q)_{\infty} (c; q)_{\infty}}{(b z; q)_{\infty} (\frac{c}{b}; q)_{\infty}}_{2} ϕ_{1} [\begin{matrix} \frac{c}{b}, \frac{c}{a} \\ c \end{matrix}; q, \frac{a b z}{c}] \\ =_{2} ϕ_{1} [\begin{matrix} \frac{c}{a}, \frac{c}{b} \\ c \end{matrix}; q, \frac{a b z}{c}] \frac{(\frac{a b z}{c}; q)_{\infty}}{(z; q)_{\infty}} \end{matrix}

となり、q二項定理を用いて

\begin{matrix} _{2} ϕ_{1} \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(a; q)_{n} (b; q)_{n}}{(q; q)_{n} (c; q)_{n}} z^{n} & = \sum_{m = 0}^{\infty} \frac{(\frac{c}{a}; q)_{m} (\frac{c}{b}; q)_{m}}{(q; q)_{m} (c; q)_{m}} {(\frac{a b z}{c})}^{m} \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{(\frac{a b}{c}; q)_{k}}{(q; q)_{k}} z^{k} \end{matrix}

となる。 $z^{n}$ の係数を比べると

\begin{matrix} \frac{(a; q)_{n} (b; q)_{n}}{(q; q)_{n} (c; q)_{n}} & = \sum_{m = 0}^{\infty} \frac{(\frac{c}{a}; q)_{m} (\frac{c}{b}; q)_{m}}{(q; q)_{m} (c; q)_{m}} {(\frac{a b}{c})}^{m} \frac{(\frac{a b}{c}; q)_{n - m}}{(q; q)_{n - m}} \\ = \sum_{m = 0}^{\infty} \frac{(\frac{c}{a}; q)_{m} (\frac{c}{b}; q)_{m}}{(q; q)_{m} (c; q)_{m}} {(\frac{a b}{c})}^{m} \frac{(\frac{a b}{c}; q)_{n} (q^{1 + n - m}; q)_{m}}{(q; q)_{n} (\frac{a b}{c} q^{n - m}; q)_{m}} \end{matrix}

であるが、qポッホハマー記号の変換式 $(a q^{- m + 1}; q)_{m} = (- a)^{m} q^{- m (m - 1) / 2} {(a^{- 1}; q)}_{m}$ を用いて、

\begin{matrix} \frac{(a; q)_{n} (b; q)_{n}}{(q; q)_{n} (c; q)_{n}} = \sum_{m = 0}^{\infty} \frac{(\frac{c}{a}; q)_{m} (\frac{c}{b}; q)_{m}}{(q; q)_{m} (c; q)_{m}} \frac{(\frac{a b}{c}; q)_{n} (q^{- n}; q)_{m}}{(q; q)_{n} (\frac{c}{a b} q^{- n + 1}; q)_{m}} q^{m} \\ \frac{(a; q)_{n} (b; q)_{n}}{(\frac{a b}{c}; q)_{n} (c; q)_{n}} = \sum_{m = 0}^{\infty} \frac{(\frac{c}{a}; q)_{m} (\frac{c}{b}; q)_{m}}{(q; q)_{m} (c; q)_{m}} \frac{(q^{- n}; q)_{m}}{(\frac{c}{a b} q^{- n + 1}; q)_{m}} q^{m} =_{3} ϕ_{2} [\begin{matrix} \frac{c}{a}, \frac{c}{b}, q^{- n} \\ c, \frac{c}{a b} q^{- n + 1} \end{matrix}; q, q] \end{matrix}

を得る。 $a, b$ を $\frac{c}{a}, \frac{c}{b}$ に置き換えて

_{3} ϕ_{2} [\begin{matrix} a, b, q^{- n} \\ c, \frac{a b}{c} q^{- n + 1} \end{matrix}; q, q] = \frac{(\frac{c}{a}; q)_{n} (\frac{c}{b}; q)_{n}}{(\frac{c}{a b}; q)_{n} (c; q)_{n}}

を得る。