一様収束

数学の一分野である解析学において、一様収束（いちようしゅうそく、テンプレート:Lang-en-short）とは、各点収束よりも強いテンプレート:仮リンク概念である。関数列 テンプレート:Math が極限関数 テンプレート:Mvar に一様収束する (converge uniformly) とは、テンプレート:Math が テンプレート:Math へ収束する速さが テンプレート:Mvar に依らないということである。

連続性やリーマン可積分性といった性質は、一様収束極限には引き継がれるが、各点収束極限に引き継がれるとは限らない。これは一様収束の重要性を浮かび上がらせている。

定義

テンプレート:Mvar を集合とし、各自然数 テンプレート:Mvar に対し テンプレート:Math を実数値関数とする。関数列 テンプレート:Math が極限 テンプレート:Math に一様収束するとは、任意の テンプレート:Math に対し、ある自然数 テンプレート:Mvar が存在して、すべての テンプレート:Math とすべての テンプレート:Math に対して テンプレート:Math2 が成り立つことである。

一様ノルム $\Vert f{\Vert }_{\mathrm{\infty }}=\underset{x\in S}{\sup }|f(x)|$ を考えると、テンプレート:Mvar が テンプレート:Mvar に一様収束することと $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\Vert f_n-f{\Vert }_{\mathrm{\infty }}=0$ は同値である。

関数列 テンプレート:Math が テンプレート:Mvar に局所一様収束するとは、距離空間 テンプレート:Mvar のすべての点 テンプレート:Mvar に対して、ある テンプレート:Math が存在して、テンプレート:Math が テンプレート:Math 上一様収束することをいう。

注意

上記定義において「ある テンプレート:Mvar が存在して」と「すべての テンプレート:Mvar に対して」の順序を入れ替えると、列の各点収束 (pointwise convergence) に同値な主張となることに注意しよう。各点収束の概念は次のように定義できる。関数列 テンプレート:Math が極限 テンプレート:Math に各点収束するとは、

すべての テンプレート:Math と全ての テンプレート:Math に対して、ある自然数 テンプレート:Mvar が存在して、すべての テンプレート:Math に対して、テンプレート:Math が成り立つ

ことをいう。ここで テンプレート:Mvar と テンプレート:Mvar の普遍量化子の順序は重要でないが、テンプレート:Mvar の普遍量化子と テンプレート:Mvar の存在量化子の順序は重要である。

一様収束の場合には、テンプレート:Mvar は テンプレート:Mvar のみにしか依存してはいけないが、各点収束の場合には、テンプレート:Mvar は テンプレート:Mvar と テンプレート:Mvar の両方に依存してもよい。したがって一様収束ならば各点収束であることは平易である。逆は以下の例が示すように正しくない。テンプレート:Mvar を単位区間 テンプレート:Math とし、各自然数 テンプレート:Mvar に対して テンプレート:Math と定義する。すると テンプレート:Math は、テンプレート:Math のとき テンプレート:Math2 によって定義される関数 テンプレート:Mvar に各点収束する。この収束は一様ではない。なぜならば、例えば、テンプレート:Math に対し、定義で要求されるような テンプレート:Mvar は存在しない。テンプレート:Mvar について テンプレート:Math を解くと n > log ε / log x となるからである。これは テンプレート:Mvar だけでなく テンプレート:Mvar にも依存している。また、テンプレート:Mvar に依存しない テンプレート:Mvar の上界を見つけることも不可能であることに注意しよう。任意の テンプレート:Math に対し、log ε / log x は テンプレート:Mvar が テンプレート:Math に近づくとき限りなく増大するからである。

一般化

一様収束の概念をすぐに関数 テンプレート:Math, ここで テンプレート:Math は距離空間、に拡張できる。テンプレート:Math を テンプレート:Math に置き換えればよい。

最も一般的な設定は関数 テンプレート:Math のネットの一様収束である。ここで テンプレート:Mvar は一様空間である。ネット テンプレート:Math が極限 テンプレート:Math に一様収束するとは、テンプレート:Mvar のすべての近縁 (entourage) テンプレート:Mvar に対し、ある テンプレート:Math が存在して、全ての テンプレート:Math とすべての テンプレート:Math に対して、テンプレート:Math が テンプレート:Mvar に入っていることをいう。上に述べた定理、連続関数の一様極限は連続、はこの設定においてもなお正しい。

超実数の設定における定義

一様収束は超実数の設定において簡易化された定義を持つ。関数列 テンプレート:Mvar が テンプレート:Mvar に一様収束するとは、テンプレート:Math の定義域のすべての テンプレート:Mvar と、すべての無限大超自然数 テンプレート:Mvar に対して、テンプレート:Math が テンプレート:Math に無限に近いことをいう（一様連続性の類似の定義はテンプレート:仮リンクを参照）。

性質

• すべての一様収束列はコンパクト収束である。
• すべての局所一様収束列はコンパクト収束である。
• 局所コンパクト空間に対して局所一様収束とコンパクト収束は同値である。
• 距離空間上の連続関数の列は、終域の距離空間が完備であれば、一様収束であることと一様コーシー列であることは同値である。

応用

連続性

定理における一様収束の代わりに各点収束を仮定した強い主張に対する反例。連続な緑色の関数 ${\sin }^n(x)$ は非連続な赤色の関数に収束する。これは収束が一様でないときにしか起こり得ない。

もし テンプレート:Mvar が実数における区間（より一般に位相空間）ならば、関数 テンプレート:Mvar や テンプレート:Mvar の連続性を考えることができる。次は一様収束に関する重要な結果である。

定理 区間 テンプレート:Mvar 上の連続関数列 テンプレート:Mvar が関数 テンプレート:Mvar に一様収束するならば、関数 テンプレート:Mvar も テンプレート:Mvar 上で連続である。

この定理の証明は "$ϵ/3$ trick" の典型例である：目的の不等式 ($<ϵ$) を証明するために、連続性や一様収束の定義から3つの不等式 ($<ϵ/3$) を導き、それらを三角不等式により組合せることで、求める不等式を得る。

連続関数列の各点収束極限は連続とは限らないので（右図）、この定理は重要である。

より精密にはこの定理は、一様連続関数列の一様収束極限は一様連続であると述べている。局所コンパクト空間において連続性は局所一様連続性と同値なので、連続関数列の一様収束極限は連続である。

微分

区間 テンプレート:Mvar 上の関数列 テンプレート:Mvar が微分可能で関数 テンプレート:Mvar に収束するとき、テンプレート:Mvar の導関数を関数列 テンプレート:Mvar の導関数の極限として得たい。ところが、これは一般には不可能である。たとえ収束が一様であったとしても、極限関数は微分可能とは限らない。さらに微分可能であったとしても、極限関数の微分が関数列の微分の極限と一致するとも限らない。例えば $f_n(x)=\frac{1}{n}\sin (nx)$ は一様極限が テンプレート:Math であるが、その微分は テンプレート:Math に収束しない。関数列の極限と関数列の微分の極限の関係を保証するには、関数列の微分の一様収束に加えて、 少なくとも一点での収束が必要となる。厳密な主張は次のようになる。

定理 区間 テンプレート:Math 上で微分可能な関数列 テンプレート:Mvar に対し、区間 テンプレート:Math 上のある点 テンプレート:Math において テンプレート:Math は収束し、関数列 テンプレート:Math は区間 テンプレート:Math 上で一様収束すると仮定する。このとき関数列 テンプレート:Mvar は関数 テンプレート:Mvar に一様収束し、テンプレート:Math に対して $f^{\prime }(x)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{f_n}^{\prime }(x)$ が成り立つ。

積分

微分の場合と同様に、積分と極限の交換をしたいことがある。リーマン積分に対しては、一様収束を仮定すればよい：

定理 コンパクトな区間 テンプレート:Mvar 上で定義されたリーマン可積分関数列 テンプレート:Mvar が極限 テンプレート:Mvar に一様収束するならば、テンプレート:Mvar もリーマン可積分であり $\underset{I}{\int }f(x)dx=\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{n\to \mathrm{\infty }}\underset{I}{\int }{f}_n(x)dx$ が成り立つ。

系として、特にコンパクトな区間 テンプレート:Mvar 上で定義されたリーマン可積分関数列 テンプレート:Mvar に対して、部分和が級数 $f=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{f}_n$ に一様収束しているならば $\underset{I}{\int }f(x)dx=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\underset{I}{\int }{f}_n(x)dx$ と項別積分できる。

解析性

複素平面の領域 テンプレート:Mvar 上で定義された解析関数列の一様収束極限もまた テンプレート:Mvar 上で解析的である。実数における区間上で定義された解析関数列の一様収束極限は微分可能とさえ限らないので、これは複素関数は実関数よりも良い振る舞いをすることを示している。

概一様収束

関数の定義域が測度空間 テンプレート:Mvar であれば、関連概念である概一様収束 (almost uniform convergence) が定義できる。関数列 テンプレート:Math が テンプレート:Mvar 上概一様収束するとは、すべての テンプレート:Math に対して、測度が テンプレート:Mvar よりも小さい可測集合 テンプレート:Mvar が存在して、関数列 テンプレート:Math が テンプレート:Math 上一様収束することである。言い換えれば、概一様収束は、補集合上関数列が一様収束になるようないくらでも小さい測度の集合が存在することを意味する。

列の概一様収束は、名前から誤って予想されるかもしれないが、列がほとんどいたるところ一様収束することを意味するわけではないことに注意する。

テンプレート:仮リンクは測度有限の空間上テンプレート:仮リンク関数列は同じ集合上概一様収束もすることを保証する。

概一様収束ならばテンプレート:仮リンクおよび測度収束である。

関連項目

• テンプレート:仮リンク
• ディニの定理

参考文献

• Konrad Knopp, Theory and Application of Infinite Series; Blackie and Son, London, 1954, reprinted by Dover Publications, ISBN 0-486-66165-2.
• G. H. Hardy, Sir George Stokes and the concept of uniform convergence; Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, 19, pp. 148–156 (1918)
• Bourbaki; Elements of Mathematics: General Topology. Chapters 5–10 (Paperback); ISBN 0-387-19374-X
• Walter Rudin, Principles of Mathematical Analysis, 3rd ed., McGraw–Hill, 1976.
• Gerald Folland, Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications, Second Edition, John Wiley & Sons, Inc., 1999, ISBN 0-471-31716-0.
• William Wade, An Introduction to Analysis , 3rd ed., Pearson, 2005

外部リンク

• テンプレート:SpringerEOM
• テンプレート:Planetmath reference
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• Graphic examples of uniform convergence of Fourier series from the University of Colorado