完全数

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完全数の一つである6の図解

完全数（かんぜんすう、テンプレート:Lang-en-short）とは、自分自身を除く正の約数の和が自分自身に等しくなる自然数のことである。完全数は素数ではあり得ず、合成数に限られる。完全数の最初の4個は テンプレート:Math2、テンプレート:Math2、テンプレート:Math2、テンプレート:Math2 である。

「完全数」は「万物は数なり」と考えたピタゴラスが名付けた数の一つであることに由来する[1]が、彼がなぜ「完全」と考えたのかについては何も書き残されていないようである[1]。紀元1世紀ごろは、全ての数は過剰数と不足数と完全数の3種類に分けられて、道徳的な意味付けが真剣に考えられた[2]。中世の『聖書』の研究者は、「テンプレート:Math は『神が世界を創造した（天地創造）6日間』、テンプレート:Math は『月の公転周期』で、これら2つの数は地上と天界における神の完全性を象徴している」[1]と考えたとされる[3]。古代ギリシアの数学者は他にもあと2つの完全数 (テンプレート:Math) を知っていた[1]。以来、完全数はどれだけあるのかの探求が2500年以上のちの現在まで続けられている。

完全数の定義は、正の約数の総和が自分自身の2倍に等しいことと同値である。すなわち、テンプレート:Mvar が完全数であるとは、約数関数 テンプレート:Math に対して テンプレート:Math が成り立つことであると表現できる。また、正の約数の逆数和が テンプレート:Math であると表現することもできる。

歴史

完全数に関する数学上の最初の成果は紀元前3世紀ごろのユークリッドによってもたらされた。彼は『原論』（第9巻、命題36）で、「テンプレート:Math が素数ならば、テンプレート:Math は完全数である」ということを証明したテンプレート:Refnest。テンプレート:Math で表される数をメルセンヌ数といい、それが素数である場合をメルセンヌ素数という。

古代から、6、28、496、8128の4つの数が完全数であることは知られており、ゲラサのニコマコスの『算術入門』には4つの完全数に関する記述が存在する[4]。

ユークリッドの公式は2以上の テンプレート:Math に対して偶数の完全数しか生成しない（1のときは唯一の1倍完全数である1になる）が、逆に偶数の完全数が全て テンプレート:Math の形で書けるかどうかは18世紀までは未解決であった。レオンハルト・オイラーは偶数の完全数がこの形に限ることを証明した[5][6]テンプレート:Refnest。

メルセンヌ素数の探索は、エドゥアール・リュカとテンプレート:仮リンクによってメルセンヌ数が素数であるかどうかの効率的な判定法が考案され、1950年代からコンピュータが使われるようになる。現在では分散コンピューティング GIMPS による探求が行われていて、テンプレート:As ofで判明している最大のメルセンヌ素数は4102万4320桁の数である[7]。テンプレート:Unsolvedテンプレート:As of発見されている完全数はメルセンヌ素数と同じく52個である。紀元前より考察されている対象であるにもかかわらず、「偶数の完全数は無数に存在するか？」「奇数の完全数は存在するか？」という問題は未解決である。

概要

完全数は、小さい順に

テンプレート:Math（テンプレート:OEIS）

である。

各完全数の正の約数の総和は

テンプレート:Math（テンプレート:OEIS）

隣り合う完全数の差は

テンプレート:Math（テンプレート:OEIS）

完全数の総和の列は

テンプレート:Math（テンプレート:OEIS）

である。

テンプレート:Math と テンプレート:Math がなぜ「完全」であるかは中世の学者の議論の対象になり、テンプレート:Math は神が創造した1週間（日曜日は神が天地創造を終えて休んだ安息日で、キリスト教ではこれを除外する）、テンプレート:Math は「月の公転周期」とされた[1]。聖アウグスティヌス（? - 604年）はこれとは一線を画し、「テンプレート:Math はそれ自体完全な数である。神が万物を6日間で創造したから テンプレート:Math が完全なのでなく、むしろ逆が真である」としている[1]。

偶数の完全数 テンプレート:Math は テンプレート:Math 番目の三角数であり、テンプレート:Sfrac 番目の六角数でもある。

完全数の分類

偶数の完全数

偶数の完全数は、テンプレート:Math が素数のときの テンプレート:Math に限る（ユークリッド、オイラー）。

ユークリッドの証明

テンプレート:Math が完全数であることの証明：[8] テンプレート:Math proof

オイラーの証明

偶数の完全数は テンプレート:Math の形に限ることの証明[5][6][注釈 1]： テンプレート:Math proof

偶数の完全数の性質

偶数の完全数を テンプレート:Math（テンプレート:Math は素数）とする。

N=∑k=12p−12(2k−1)3(p≧3)
例：
テンプレート:Math
テンプレート:Math から連続する正の奇数の立方和で表せる数の列は
テンプレート:Math（テンプレート:OEIS）
テンプレート:Math（テンプレート:OEIS）
この数列で完全数にならない数の数列は テンプレート:OEIS を参照
テンプレート:Math（テンプレート:OEIS）
  • 偶数の完全数は、テンプレート:Math からメルセンヌ素数まで連続する正の整数の和で表せる。式で表すと
N=∑k=12p−1k(p≧2)
例：テンプレート:Math
言い換えると、テンプレート:Mvar は テンプレート:Math 番目の三角数である。偶数の三角数の列は
テンプレート:Math2（テンプレート:OEIS）
  • 偶数の完全数は全て奇数番目の三角数でもあるので、知られている完全数は全て六角数でもある。
N=∑k=12p−1(4k−3)(p≧2)
例：テンプレート:Math
言い換えると、テンプレート:Mvar は テンプレート:Math 番目の六角数である。

六角数の列は

テンプレート:Math（テンプレート:OEIS）
テンプレート:Math（テンプレート:OEIS）
テンプレート:Math（テンプレート:OEIS）

偶数の完全数の未解決問題

偶数の完全数は無数に存在するか、つまり テンプレート:Math が素数となる素数 テンプレート:Mvar は無数に存在するかどうかは未解決である。

奇数の完全数

奇数の完全数が存在するか否かは未解決であるが、約数関数は乗法的 (テンプレート:Lang-en-short) であることから、二平方数の和であることが古くから知られていた。もし奇数の完全数 テンプレート:Mvar が存在すれば、テンプレート:Mvar は以下の各条件を満たさなければならないことが知られている。

その他の性質

テンプレート:Math（テンプレート:OEIS）
  • 完全数は素数ではないが、約数の和が自分自身（の1倍）に等しい唯一の数である テンプレート:Math との関係において、2個の約数を持つ素数が1個の約数を持つ唯一の数である テンプレート:Math に対するのと似た関係を持つ。

関連する数

約数の和や積を考えることで特徴付けられる数の種類には他にも次のようなものがある。完全数と併せて、これらの名称には古代ギリシアの数秘学の影響が見られる。

完全数の拡張

倍積完全数 (multiperfect number)[35]
正の約数の和が自分自身の倍数である自然数を倍積完全数という。特に、それがテンプレート:Mvar倍に等しいものをテンプレート:Mvar倍完全数という。テンプレート:Mathは唯一のテンプレート:Math倍完全数であり、完全数とはテンプレート:Math倍完全数のことである。
テンプレート:Math（テンプレート:OEIS）
ハイパー完全数 (hyperperfect number)
テンプレート:Mvar が テンプレート:Mvar -ハイパー完全数であるとは、
テンプレート:Math（ただしテンプレート:Mvar は自然数）（テンプレート:Math は約数関数）
を満たすことと定義される。完全数は テンプレート:Math-ハイパー完全数である。
テンプレート:Mvar -ハイパー完全数の列は
テンプレート:Math（テンプレート:OEIS）
超完全数 (superperfect number)
テンプレート:Mvar が テンプレート:Math-完全数であるとは、
テンプレート:Math（ただし テンプレート:Mvar は自然数）（テンプレート:Math は約数関数）
を満たすときと定義される。完全数は テンプレート:Math-完全数、倍積完全数は テンプレート:Math-完全数、超完全数は テンプレート:Math-完全数である。
擬似完全数 (semiperfect number)
自分自身を除くいくつかの約数の総和が元の数に等しい自然数を擬似完全数という。

不完全数

完全数でない自然数を不完全数 (imperfect number) という。

不足数 (deficient number)[36]
自分自身以外の正の約数の和より大きい自然数
過剰数 (abundant number)[37]
自分自身以外の正の約数の和より小さい自然数。過剰数であって擬似完全数でない数を不思議数という。
友愛数 (amicable pair)[38]
自分自身以外の正の約数の和が互いに他方に等しい2つの自然数の組。
社交数 (sociable numbers)[39]
友愛数と同様の関係が成立する3個以上の自然数の組。
テンプレート:仮リンク (quasiperfect number)[40]
テンプレート:Mvar が準完全数であるとは、正の約数の和が テンプレート:Math に等しいことと定義される。過剰数の一種。そのような数はいまだに見つかっていないが、存在するならばそれは奇数の平方数で テンプレート:Math より大きく、少なくとも7つの約数を持つということが示されている。
テンプレート:仮リンク (almost perfect number)[41]
テンプレート:Mvar が概完全数であるとは、正の約数の和が テンプレート:Math に等しいことと定義される。不足数の一種。テンプレート:Math の形の自然数はこの条件を満たしているが、この形の自然数以外の概完全数が存在するのかどうかは知られていない。

その他

乗法的完全数 (multiplicative perfect number)[42]
正の約数の積が自分自身の自乗（2乗）に等しい数を乗法的完全数という。乗法的完全数の列は、
テンプレート:Math（テンプレート:OEIS）

エピソード

小川洋子の小説『博士の愛した数式』（2003年）では登場人物の「博士」が阪神タイガースの江夏豊投手のファンであったことの理由として江夏の背番号が28であったことを挙げ、その際に完全数の説明がなされている。

江夏ではないが、日本のプロ野球で初めて完全試合が達成されたのは月・日とも完全数の1950年6月28日だった。6月28日は「完全」の意味を持つ食べ物「パフェの日」にもなっている。

脚注

テンプレート:脚注ヘルプ

注釈

テンプレート:Reflist

出典

テンプレート:Reflist

参考文献

  • 高木貞治：「初等整数論講義」第2版、（1971）。

関連項目

テンプレート:Div col

外部リンク

テンプレート:Divisor classes

テンプレート:Normdaten

  1. ↑ 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 「高数・数学者列伝」吉永良正『高校への数学』vol.20、1995年8月号
  2. ↑ テンプレート:仮リンク『ゼロから無限へ』芹沢正三訳　講談社ブルーバックス 1971年 ISBN 978-4061177772 p133
  3. ↑ 淡中忠郎「メルセンヌ数物語」『数学セミナー』、1973年9月号。数学セミナー編集部(1982)、65-67頁に再録されている。
  4. ↑ テンプレート:Cite book
  5. ↑ 5.0 5.1 テンプレート:Harvnb
  6. ↑ 6.0 6.1 テンプレート:Harvnb
  7. ↑ テンプレート:Cite press release
  8. ↑ テンプレート:Harvnb
  9. ↑ テンプレート:Cite journal
  10. ↑ テンプレート:Cite journal
  11. ↑ M. Kishore, "On odd perfect, quasiperfect, and odd almost perfect numbers", Math. Comp. 36 (1981), 583-586.
  12. ↑ W. L. McDaniel, "The non-existence of odd perfect numbers of a certain form", Arch. Math. (Basel) 21 (1970), 52-53.
  13. ↑ テンプレート:Cite journal
  14. ↑ W. L. McDaniel and P. Hagis Jr., "Some results concerning the non-existence of odd perfect numbers of the form pテンプレート:SupMテンプレート:Sup", Fibonacci Quart. 13 (1975), 25-28.
  15. ↑ G. L. Cohen, R. J. Williams, "Extensions of some results concerning odd perfect numbers", Fibonacci Quart. 23 (1985), 70-76.
  16. ↑ テンプレート:Cite journal
  17. ↑ J. Touchard, "On prime numbers and perfect numbers", Scripta Math. 19 (1953), 53-59.
  18. ↑ M. Satyanarayana, "Odd perfect numbers", Math. Student 27 (1959), 17-18.
  19. ↑ J. A. Holdener, "A theorem of Touchard on the form of odd perfect numbers". Amer. Math. Monthly, 109 (2002), 661-663.
  20. ↑ T. Roberts, "On the Form of an Odd Perfect Number", Australian Mathematical Gazette, 35:4 (2008), 244
  21. ↑ 21.0 21.1 21.2 テンプレート:Cite journal
  22. ↑ R. P. Brent, Graeme L. Cohen, H. J. J. te Riele, "Improved techniques for lower bounds for odd perfect numbers", Math. Comp. 57 (1991), 857-868
  23. ↑ テンプレート:Cite journal
  24. ↑ 24.0 24.1 テンプレート:Cite journal
  25. ↑ J. E. Z. Chein, "An odd perfect number has at least 8 prime factors", Doctoral Thesis, Pennsylvania State University, 1979.
  26. ↑ P. Hagis Jr., "Outline of a proof that every odd perfect number has at least eight prime factors", Math. Comp. 35 (1980) 1027-1032.
  27. ↑ G. L. Cohen, R. M. Sorli, "On the number of distinct prime factors of an odd perfect number", J. Discrete Algorithms 1 (2003), 21-35.
  28. ↑ K. K. Norton, "Remarks on the number of factors of an odd perfect number", Acta Arith., 6 (1960/1961), 365-374.
  29. ↑ 75個以上であることを示した、以前の結果は K. G. Hare, "New techniques for bounds on the total number of prime factors of an odd perfect number", Math. Comp. 76. (2007), 2241-2248. preprint
  30. ↑ T. Goto and Y. Ohno, "Odd perfect numbers have a prime factor exceeding 10テンプレート:Sup", Math. Comp. 77 (2008), 1859-1868. "奇数の完全数の最大素因子について" - preprint を入手可能。
  31. ↑ P. M. Jenkins, "Odd perfect numbers have a prime factor exceeding 10テンプレート:Sup", Math. Comp. 72 (2003), 1549-1554.
  32. ↑ P. Hagis, Jr. and G. L. Cohen, "Every odd perfect number has a prime factor which exceeds 10テンプレート:Sup", Math. Comp. 67 (1998), 1323-1330.
  33. ↑ D. E. Iannucci, "The second largest prime divisor of an odd perfect number exceeds ten thousand", Math. Comp. 68 (1999), 1749-1760.
  34. ↑ D. E. Iannucci, "The third largest prime divisor of an odd perfect number exceeds one hundred", Math. Comp. 69 (2000), 867-879.
  35. ↑ テンプレート:MathWorld
  36. ↑ テンプレート:MathWorld
  37. ↑ テンプレート:MathWorld
  38. ↑ テンプレート:MathWorld
  39. ↑ テンプレート:MathWorld
  40. ↑ テンプレート:MathWorld
  41. ↑ テンプレート:MathWorld
  42. ↑ テンプレート:MathWorld


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