超完全数

超完全数 (ちょうかんぜんすう、テンプレート:Lang-en-short）とは完全数を発展させた数で、次の式を満たす整数 n のことである。

σ^{2} (n) = σ (σ (n)) = 2 n

ただしσ は約数関数、超完全数は Suryanarayana (1969) によって定義された。

具体的には

である。もし n が偶数の超完全数ならば 2^k+1−1 がメルセンヌ素数であるような 2^k でなければならない。^[1]^[2]

奇数の超完全数はまだ知られていない。奇数の超完全数 n が存在するなら、その数は n または σ(n) が少なくとも3つの異なる素因数からできる平方数でなければならないことは知られている。^[2] 奇数の超完全数は 7 x 10²⁴ までの数では存在しない。^[1]

概要

以下の約数関数 σ を用いた数式において m = 1 のとき完全数、m = 2 のとき超完全数、そして m ≥ 3 のとき m-超完全数は存在しない。^[1]

σ^{m} (n) = 2 n

これよりm-超完全数とは以下の数式を満たす n で(m , k)-完全数という。 ^[3]

σ^{m} (n) = k n

(m , k)-完全数の表記において, 完全数は(1 , 2)-完全数、倍積完全数は(1 , k)-完全数、超完全数は(2 , 2)-完全数となる。 m-超完全数とは(m , 2)-完全数のことである。^[4]

以下に(m , k)-完全数の例を示す。

m	k	(m , k)-完全数	OEIS
2	2	2, 4, 16, 64, 4096, 65536, 262144,…	テンプレート:OEIS2C
2	3	8, 21, 512	テンプレート:OEIS2C
2	4	15, 1023, 29127, 355744082763	テンプレート:OEIS2C
2	6	42, 84, 160, 336, 1344, 86016, 550095, 1376256, 5505024,…	テンプレート:OEIS2C
2	7	24, 1536, 47360, 343976	テンプレート:OEIS2C
2	8	60, 240, 960, 4092, 16368, 58254, 61440, 65472, 116508, 466032, 710400, 983040, 1864128, 3932160, 4190208, 67043328, 119304192, 268173312, 1908867072,…	テンプレート:OEIS2C
2	9	168, 10752, 331520, 691200, 1556480, 1612800, 106151936,…	テンプレート:OEIS2C
2	10	480, 504, 13824, 32256, 32736, 1980342, 1396617984, 3258775296,…	テンプレート:OEIS2C
2	11	4404480, 57669920, 238608384	テンプレート:OEIS2C
2	12	2200380, 8801520, 14913024, 35206080, 140896000, 459818240, 775898880, 2253189120,…	テンプレート:OEIS2C
2	13	57120, 932064, 3932040, 251650560	テンプレート:OEIS2C
2	14	217728, 1278720, 2983680, 5621760, 14008320, 298721280, 955367424, 1874780160, 4874428416	テンプレート:OEIS2C
3		1, 12, 14, 24, 52, 98, 156, 294, 684, 910, 1368, 1440, 4480, 4788, 5460, 5840, ...	テンプレート:OEIS2C
4		1, 2, 3, 4, 6, 8, 10, 12, 15, 18, 21, 24, 26, 32, 39, 42, 60, 65, 72, 84, 96, 160, 182, ...	テンプレート:OEIS2C

上の表で(2 , k)-完全数の一覧はテンプレート:OEISを参照。
(m, k)-完全数を考えたときそれぞれの数の最小回数で整数倍になる m の値は 1, 2, 4, 2, 5, 1, 5, 2, 7, 4, 15, 3, 13,…である。(テンプレート:OEIS)
- 整数倍になる k の値は 1, 2, 5, 2, 24, 2, 24, 3, 168, 12, 1834560, 10,…である。(テンプレート:OEIS)
- それ未満のどの数よりも整数倍になる回数が多くなる数は 1, 2, 3, 5, 9, 11, 23, 25, 29, 59, 67, 101,…である。(テンプレート:OEIS)

(m, k)-完全数で元の数 n と m が n < m の関係を満たすものは 3, 11, 29, 53, 58, 59, 67, 101, 109,…である。(テンプレート:OEIS) このときの m はテンプレート:OEISを、k はテンプレート:OEISを参照。