レヴィ分布

テンプレート:出典の明記 テンプレート:確率分布 統計学および確率論において、レヴィ分布（テンプレート:Lang-en-short）は、非負な確率変数に関する連続確率分布である。ポール・レヴィに因んで名づけられた。レヴィ分布は、安定分布の中でも解析表現可能な確率密度関数を有する数少ない分布の一つである。その他の解析表現可能な分布には、正規分布、コーシー分布がある。

定義

確率密度関数

レヴィ分布の確率密度関数は、テンプレート:Math2 に関して以下の式で与えられる。

$f(x;\mu ,c)=\sqrt{\frac{c}{2\pi }}\frac{e^{-\frac{c}{2(x-\mu )}}}{(x-\mu {)}^{3/2}}$

ここで、テンプレート:Mvar はテンプレート:Ill、テンプレート:Mvar はテンプレート:Ill。

累積分布関数

累積分布関数は

$F(x;\mu ,c)=\text{erfc}\left(\sqrt{c/2(x-\mu )}\right)$

ここで、$\mathrm{erfc}(z)$ は相補誤差関数。テンプレート:Mvar はシフト (shift) パラメータで、曲線を右へ テンプレート:Mvar だけ平行移動させ、台 (support) は区間 テンプレート:Math となる。

特性関数

レヴィ分布の特性関数は以下の式で与えられる。

$\phi (t;\mu ,c)=e^{i\mu t-\sqrt{-2ict}}.$

この関数は安定分布で使用される形式を用いると以下のように書ける。 ただし テンプレート:Math2：

$\phi (t;\mu ,c)=e^{i\mu t-|ct{|}^{1/2}(1-i\mathrm{sign}(t))}.$

モーメント

テンプレート:Math2 の場合、レヴィ分布の テンプレート:Mvar 次モーメントは以下の式で定義される。

$m_n\stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}\sqrt{\frac{c}{2\pi }}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{e^{-c/2x}{x}^n}{x^{3/2}}dx$

この式は、すべての テンプレート:Math2 に関して発散するので、レヴィ分布のモーメントは存在しない。

モーメント母関数 は次の式で定義される。

$M(t;c)\stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}\sqrt{\frac{c}{2\pi }}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{e^{-c/2x+tx}}{x^{3/2}}dx$

この式は、テンプレート:Math2 の場合発散するので テンプレート:Math 近傍では定義されない。したがって、モーメント母関数は定義されない。

冪乗則

正規分布を除く全ての安定分布同様、レヴィ分布の確率密度関数の裾は、冪乗則に従って低減する「heavy tail」を示す。

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }f(x;\mu ,c)=\sqrt{\frac{c}{2\pi }}\frac{1}{x^{3/2}}.$

いくつかの テンプレート:Mvar の値について確率密度関数を描いた以下の両対数グラフにこの様子が示されている。

レヴィ分布の確率密度関数の両対数グラフ。ただし テンプレート:Math2。

関連項目

• 安定分布