フェルミ分布関数

フェルミ分布関数（フェルミぶんぷかんすう、テンプレート:Lang-en-short）とは、相互作用のないフェルミ粒子の系において、一つのエネルギー準位にある粒子の数（占有数）の分布を与える理論式である^[1]。フェルミ・ディラック分布とも呼ばれる。

定義

f (ϵ) = \frac{1}{e^{β (ϵ - μ)} + 1}

と定義される関数をフェルミ分布関数と呼ぶ。フェルミ分布関数はテンプレート:Math からテンプレート:Math の間の値をとる。

量子数テンプレート:Mvarで指定されるエネルギー準位テンプレート:Mvarを占有しているフェルミ粒子の個数テンプレート:Mvarの統計的期待値テンプレート:Mathを考える。占有数はマクロな観測量では無いが、期待値を求めておくと量子理想気体などの解析に便利である^[2]。テンプレート:Mathをグランドカノニカル分布で求めると、以下のようになる^[3]。

⟨ n_{ν} ⟩ = f (ϵ_{ν}) \equiv \frac{1}{e^{β (ϵ_{ν} - μ)} + 1}

つまりフェルミ分布関数のテンプレート:Mvarに占有数の期待値を求めたい準位のエネルギーテンプレート:Mvarを入れると占有数の期待値が求まる。フェルミ分布関数がテンプレート:Math からテンプレート:Math までの値しかとれないことは、パウリの排他原理によりフェルミ粒子が一つの準位には一つまでしか占有できないこととも整合している。

実際にフェルミ分布関数を用いる場合には、準位が存在しないエネルギーテンプレート:Mvarでのフェルミ分布関数を考えることがある。しかしそのような場合、準位が存在しないエネルギー領域でのフェルミ分布関数の値に占有数としての意味は無い。

たとえば半導体や絶縁体中の電子を考える際、フェルミエネルギーがエネルギーギャップ中に存在するため、エネルギーギャップ中まで拡張したフェルミ分布関数を考えることが多い。