ベータ関数

数学におけるベータ関数（ベータかんすう、テンプレート:Lang-en-short）とは、特殊関数のひとつである。ベータ関数は、第一種オイラー積分とも呼ばれる（なお、ベータ関数と深い関わりをもつガンマ関数は、第二種オイラー積分と呼ばれる）。

一般化された関数として、セルバーグ積分がある。

定義

$\mathrm{\Re }(x)>0$, $\mathrm{\Re }(y)>0$ を満たす複素数 $x$, $y$ に対して、ベータ関数は次式で定義される:

$\mathrm{B}(x,y):=\underset{0}{\overset{1}{\int }}{t}^{x-1}(1-t{)}^{y-1}\mathrm{d}t.$

性質

対称性

ベータ関数は次のような対称性を持つ。

$\mathrm{B}(x,y)=\mathrm{B}(y,x).$

証明

置換積分による計算を行う。$u=1-t$ とおくと、$\mathrm{d}t=-\mathrm{d}u$ であり、また積分区間は $t:0\to 1$ から $u:1\to 0$ へと変化するから、

$\begin{array}{cc}\mathrm{B}(x,y)& =\underset{0}{\overset{1}{\int }}{t}^{x-1}(1-t{)}^{y-1}\mathrm{d}t\\ & =-\underset{1}{\overset{0}{\int }}(1-u{)}^{x-1}{u}^{y-1}\mathrm{d}u\\ & =\underset{0}{\overset{1}{\int }}(1-u{)}^{x-1}{u}^{y-1}\mathrm{d}u\\ & =\underset{0}{\overset{1}{\int }}{t}^{y-1}(1-t{)}^{x-1}\mathrm{d}t\\ & =\mathrm{B}(y,x).\end{array}$

したがって、$\mathrm{B}(x,y)=\mathrm{B}(y,x)$ が示された。

関数等式

ベータ関数は次の関係式を満たす。

• $x\mathrm{B}(x,y+1)=y\mathrm{B}(x+1,y).$

• $\mathrm{B}(x,y)=\mathrm{B}(x+1,y)+\mathrm{B}(x,y+1).$

• $(x+y)\mathrm{B}(x,y+1)=y\mathrm{B}(x,y).$

• $\mathrm{B}(x,x)=2^{1-2x}\mathrm{B}(\frac{1}{2},x).$

• $\mathrm{B}(x,y)\mathrm{B}(x+y,z)=\mathrm{B}(y,z)\mathrm{B}(y+z,x)=\mathrm{B}(z,x)\mathrm{B}(z+x,y).$

積分表示

変数変換を行うことで、以下の形にも表示できる。いずれも、定義域は $\mathrm{\Re }(x)>0$、$\mathrm{\Re }(y)>0$ である。

• $\mathrm{B}(x,y)=2\underset{0}{\overset{\pi /2}{\int }}{\sin }^{2x-1}\theta {\cos }^{2y-1}\theta \mathrm{d}\theta .$

• $\mathrm{B}(x,y)=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{t^{x-1}}{(1+t{)}^{x+y}}\mathrm{d}t.$

• $\mathrm{B}(x,y)=\frac{1}{2^{x+y-1}}\underset{-1}{\overset{1}{\int }}(1+t{)}^{x-1}(1-t{)}^{y-1}\mathrm{d}t.$

ポッホハマーの表示

$\log (\zeta (\zeta -1))$ のリーマン面上の積分路として、実軸上の $(0,1)$ 内の点から出発し、$1$ を正の向きに、$0$ を正の向きに、$1$ を負の向きに、$0$ を負の向きの順で回って、元の点に戻るテンプレート:仮リンクを取れば、次のポッホハマーの表示が成り立つ。

$(1-e^{2\pi ix})(1-e^{2\pi iy})\mathrm{B}(x,y)=\underset{C}{\int }{\zeta }^{x-1}(1-\zeta {)}^{y-1}\mathrm{d}\zeta .$

ガンマ関数との関係

ベータ関数は、次のようにガンマ関数と結び付く。

$\mathrm{B}(x,y)=\frac{\mathrm{\Gamma }(x)\mathrm{\Gamma }(y)}{\mathrm{\Gamma }(x+y)}.$

級数表示

$\mathrm{B}(x,y)=\frac{1}{y}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n\frac{y^{\underset{\_}{n+1}}}{n!(x+n)}.$

ただし、$x^{\underset{\_}{n}}$ は下降階乗冪:

$x^{\underset{\_}{n}}=x(x-1)(x-2)\cdots (x-n+1),$

である。

無限乗積表示

$\mathrm{B}(x,y)=\frac{x+y}{xy}\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{(1+\frac{xy}{n(x+y+n)})}^{-1}.$

評価

スターリングの公式より、複素数$x$、$y$ の実部が十分大きな正の値であるとき、

$\mathrm{B}(x,y)\sim \sqrt{2\pi }\frac{x^{x-1/2}{y}^{y-1/2}}{(x+y{)}^{x+y-1/2}}.$

一方、$x$ が十分大きく $y$ が固定されているとき、

$\mathrm{B}(x,y)\sim \mathrm{\Gamma }(y)x^{-y}.$

特殊値

複素数 $x$ に対して、以下が成り立つ。

• $\mathrm{B}(1,x)=\frac{1}{x}.$
• $\mathrm{B}(x,1-x)=\frac{\pi }{\sin (\pi x)}(x\notin \mathbb{Z}).$
• $\mathrm{B}(\frac{1}{2},x)=\frac{2^{2x-1}\{\mathrm{\Gamma }(x){\}}^2}{\mathrm{\Gamma }(2x)}.$

特に、$\mathrm{B}(\frac{1}{2},\frac{1}{2})=\pi .$

非負の整数 $l$、$m$ に対して、以下が成り立つ。

• $\mathrm{B}(l+1,m+1)=\frac{l!m!}{(l+m+1)!}=\frac{1}{(l+m+1)(\genfrac{}{}{0ex}{}{l+m}{m})}.$
• $\mathrm{B}(l+\frac{1}{2},m+1)=\frac{2^{2m+1}(2l)!m!(l+m)!}{l!(2l+2m+1)!}=\frac{2(2l-1)!!(2m)!!}{(2l+2m+1)!!}.$
• $\mathrm{B}(l+\frac{1}{2},m+\frac{1}{2})=\frac{\pi (2l)!(2m)!}{2^{2l+2m}l!m!(l+m)!}=\frac{\pi (2l-1)!!(2m-1)!!}{(2l+2m)!!}.$

参考文献

• E. T. Whittaker and G. N. Watson, A Course of Modern Analysis. Cambridge University Press 1927.

関連項目

• オイラー積分
• ガンマ関数
• ガンマ分布
• 二項係数
• 不完全ベータ関数
• ベータ分布

外部リンク

• テンプレート:高校数学の美しい物語
• テンプレート:Kotobank
• ベータ関数とは？ ～ 性質と公式 ～ - 数理アラカルト
• ベータ関数とは～定義と性質8つとその証明～ - 数学の景色
• ガンマ関数とベータ関数の関係式とその証明 - 数学の景色
• テンプレート:MathWorld