一様空間

テンプレート:Pathnav 一様空間（いちようくうかん、テンプレート:Lang-en-short）とは、一様構造という構造を備えた集合である。一様構造は擬距離構造と位相構造の中間の強さを持ち、位相構造だけでは定義できないコーシー列、完備性、一様連続性、一様有界性、全有界性などが定義できる。

また擬距離空間のみならず位相群（とくに位相ベクトル空間）に関しても自然な一様構造が定まる事が知られている為、一様空間の概念は関数解析学において有益である。

位相空間との違いは、位相空間が収束性、すなわち点に「近づく」事を定義可能な概念であるのに対し、一様空間ではある点が別の点に「近い」事が定義できる。しかしこの「近さ」は擬距離構造のように実数値で全順序づけされておらず、近縁と呼ばれる部分集合に属するかどうかで判断する半順序的なものである。

定義と基本的な性質

一様空間は、集合テンプレート:Mvarと、一様構造と呼ばれるテンプレート:Mathの部分集合の族$𝒰$の組として定義される。$𝒰$の元テンプレート:Mvarは近縁と呼ばれ、直観的にはテンプレート:Mathとなる事はテンプレート:Mvarとテンプレート:Mvarが（テンプレート:Mvarに入る程度には）「近い」事を意味する。テンプレート:Anchors例えば擬距離空間の場合には2点間の距離がテンプレート:Mvar以下になるテンプレート:Mathの部分集合テンプレート:Mvarを

$U_{\epsilon }=\{(x,y)\in X\times X:d(x,y)<\epsilon \}$

と定義し、

$\mathrm{\exists }\epsilon >0:U_{\epsilon }\subset U$

を満たすテンプレート:Mathを近縁とみなす事で自然に一様空間とみなせる事が知られている（詳細後述）。

一様空間の定義

一様空間やそれに関係する概念を定義するために、まず記号を定義する。 テンプレート:Math theorem

一様空間は厳密には、近縁全体の集合$𝒰$が下記の抽象的な公理を満たす事をもって定義される。前述した擬距離空間における近縁が下記の公理を満たす事を容易に確かめられる： テンプレート:Math theorem

一様構造を一般化した概念として以下のものがある：

• テンプレート:Anchors$𝒰$が条件2,3以外の3つを満たすとき、$𝒰$をテンプレート:訳語疑問点範囲（テンプレート:Lang-en-short）という。
• テンプレート:Anchors条件5以外の4つを満たすとき、$𝒰$はテンプレート:訳語疑問点範囲（テンプレート:Lang-en-short） であるという。

条件2,3は$𝒰$がフィルターである事を要求している。前述した擬距離空間における例では

$\{U_{\epsilon }\mid \epsilon >0\}$

が前一様構造になっている事を容易に確かめられる。

一方、準一様構造は一様構造の別の側面から一般化しており、擬距離から近縁を定義すれば一様構造が定まるのに対し、テンプレート:訳語疑問点範囲（テンプレート:Lang-en-short）から近縁を定義すれば準一様構造が定まる。

一様構造から定まる位相

距離構造が定める位相の定義を自然な一般化する事で、一様構造が定める位相を定義できる：

位相空間の一様化可能性

上で一様空間には必ず位相構造が入る事を見たが、逆に位相空間上にそれと両立する一様構造が入る条件は以下のとおりである：テンプレート:Math theoremここで位相空間の完全正則性は分離公理の一つであり、以下のように定義づけられる：テンプレート:Math theorem完全正則でない位相空間は一様化可能ではないが、「準一様化」は可能である。なお下記の定理において「準一様構造の定める位相」は「一様構造が定める位相」と同様に定義する。テンプレート:Math theorem

一様連続性、一様同型

一様空間では一様連続性が定義可能である：テンプレート:Math theorem後述するように、擬距離から定まる一様構造の場合は、上記の概念は擬距離空間における一様連続性の概念と一致する。

一様連続な関数は必ず連続である：テンプレート:Math theorem

一様空間の生成

一様空間の具体例を出す前準備として、本節では一様空間の生成の概念とそれに関連する概念を定義する。これらの概念は位相空間の場合と同様に定義できる。

テンプレート:Math theorem ここで「最小」とは包含関係を大小関係とみたときの最小を意味する。なお「最小のものが存在すれば」と断っているのは、位相空間の場合とは異なり、テンプレート:Mvarと$𝒮$の選び方によっては$𝒮\subset 𝒰$となる最小の一様構造が存在しない場合があるからである。しかし$𝒮$が前一様構造であればこうした問題は起こらない： テンプレート:Math theorem前一様構造は以下の定理を満たす：テンプレート:Math theorem以上の事実の系として次が従う：テンプレート:Math theorem上の系の特殊な場合として以下の一様構造を定義できる：テンプレート:Math theorem

一様被覆による一様空間の定義

定義

我々は近縁の概念を用いて一様空間を定義したが、被覆という概念を用いても一様空間を特徴づける事ができる。まずこの定義を行うために必要な概念を定義する。テンプレート:Math theoremテンプレート:Math theorem

同値性

被覆による一様構造の定義と区別するため、本項でこれまで扱ってきた一様構造の定義を対角線による一様構造の定義と呼ぶ事にすると、この２つの一様構造の定義はいわば「同値」であり、対角線による定義から被覆による定義を導け、その逆も導ける。

テンプレート:Mvarを集合とし、$𝒰$を対角線によるテンプレート:Mvar上の一様構造とするとき、

$𝔅:=\{U[x]\mid U\in 𝒰,x\in X\}$

とし、

$𝔘:=\{𝒜:$テンプレート:Mvarの被覆 $\mid 𝒜$の細分で$𝔅$に属するものが存在する$\}$

とすると、$𝔘$は被覆による一様構造になる。

逆に$𝔘$を被覆によるテンプレート:Mvar上の一様構造とするとき、

$ℬ:=\{\bigcup _{A\in 𝒜}A\times A\mid 𝒜\in 𝔘\}$

とし、

$𝒰:=\{U\subset X\times X\mid \mathrm{\exists }B\in ℬ:B\subset U\}$

とすると、$𝒰$は対角線によるテンプレート:Mvar上の一様構造になる。

具体例

本項ではすでに一様構造の具体例として擬距離から定まる一様構造を見たが、本節ではさらに以下の具体例を見る：

• 位相群から定まる一様構造
• 密着一様構造
• 離散一様構造

位相群から定まる一様構造については、特に重要なのは位相ベクトル空間を加法に関して位相群とみなした場合である。任意の位相群に一様構造が定まるので、特に位相ベクトル空間に対して一様構造が定まる事になる。後述するように一様空間上では完備性のような解析学で必須となる性質が定義できるので、有益である。

残りの２つは位相構造における密着位相、離散位相にそれぞれ対応するもので、これらの一様構造が定める位相はそれぞれ密着位相、離散位相に一致する。

もっと重要な例として（１つの擬距離ではなく）複数の擬距離の集合から定まる一様構造が具体例として挙げられる。後述するように、擬距離の集合から一様構造が定まるだけでなく、逆に任意の一様構造は何らかの擬距離の集合から定まる事を示す事ができる。この具体例については節を改めて詳しく調べる。

位相群

本節では位相群に一様構造が入る事を見る。 テンプレート:Math theorem

これら３つの一様構造の定める位相構造はもとの位相構造と一致する： テンプレート:Math theorem特別な名称はないものの$ℒ\cap ℛ$によって生成される一様構造も考える事ができる。

$ℒ$、$ℛ$はそれぞれ左不変、右不変な擬距離の集合により特徴づける事ができるがこれについては後述する。

密着一様構造と離散一様構造

本節では位相空間における密着位相、離散位相と同様、一様空間でも密着一様構造、離散一様構造が定義できる事を見る。テンプレート:Math theoremテンプレート:Math theorem

密着一様構造はテンプレート:Math上恒等的にテンプレート:Mvarになる擬距離から定まる一様構造と一致し、離散一様構造は離散距離

$d(x,y)=\{\begin{array}{cc}0& \text{if }x=y\\ 1& \text{otherwise}\end{array}$

から定まる一様構造と一致する。しかし下記に示すように、テンプレート:Mvar上に離散位相を定める距離テンプレート:Mvarであっても、テンプレート:Mvarから定まる一様構造が離散一様構造ではないケースが存在する： テンプレート:Math theorem

擬距離の集合から定まる一様構造テンプレート:Anchors

集合テンプレート:Mvar上の1つの擬距離から一様構造が定まる事をすでに見たが、本節ではより一般にテンプレート:Mvar上の複数の擬距離の集合から一様構造を定める事ができる事を見る。後述するように、逆に任意の一様構造は何らかの擬距離の集合から定まる事を示す事ができるので、この一般化は非常に重要であり、本節の後半でその性質を詳しく調べる。

定義

テンプレート:Math theoremテンプレート:Anchors以上で定義された一様構造はより具体的に書き表す事ができる。テンプレート:Math、$r\in {ℝ}_{>0}$に対し、

$U_{d,r}:=\{(x,y)\in X\times Y\mid d(x,y)<r\}$

とすると、${𝒮}_d=\{U_{d,r}\mid r\in {ℝ}_{>0}\}$はテンプレート:Mvar上の前一様構造となっている。前一様構造の和集合は前一様構造だったので、$𝒮=\{U_{d,r}\mid d\in D,r\in {ℝ}_{>0}\}$も前一様構造であり、$𝒮$が生成する一様構造はテンプレート:Mvarが定める一様構造と一致する。

なお、集合テンプレート:Mvar上の擬距離の集合$D$の事をゲージ（テンプレート:Lang-en-short）と呼び、テンプレート:Mvarとゲージテンプレート:Mvarの組テンプレート:Mathの事をゲージ空間（テンプレート:Lang-en-short）と呼ぶことがあるが、書籍によってこの言葉の意味が異なるので注意が必要である。Schechterでは上述したように集合テンプレート:Mvar上の任意の擬距離の集合をゲージと呼んでいるが、Kellyではより狭い意味で用いており、Kellyにおけるゲージとはテンプレート:Mvar上の何らかの一様構造$𝒰$で一様連続となる全ての擬距離の集合の事である。

一様構造を定める擬距離の集合

任意の一様構造は必ず擬距離の集合から定まる：テンプレート:Math theorem

なお同様の事はが準一様構造についても成り立つ。すなわち集合テンプレート:Mvar上の任意の準一様構造$𝒬$に対し、準擬距離（テンプレート:Lang-en-short）の集合テンプレート:Mvarが存在し、$𝒬$はテンプレート:Mvarから定まる準一様構造に一致する。

上述の定理の系として、以下の事実も従う：テンプレート:Math theorem与えられた擬距離が$D_{𝒰}$に属するか否かは以下のように判別できる：テンプレート:Math theorem

擬距離の集合が同一の一様構造を定める為の条件

以上で示したように、集合テンプレート:Mvar上の擬距離の集合は一様構造を定め、逆に一様構造から擬距離の集合が定まる。しかし擬距離の集合と一様構造との対応は「単射」ではなく、相異なる２つの擬距離の集合テンプレート:Mvar、テンプレート:Mvarが同一の一様構造$𝒰$を定める事もある。しかしこうした集合テンプレート:Mvar、テンプレート:Mvarは必ず最大の擬距離の集合$D_{𝒰}$の部分集合になる事が、前述の定理から明らかに従う：テンプレート:Math theorem

より直接的に、擬距離の集合テンプレート:Mvar、テンプレート:Mvarが同一の一様構造を定める為の必要十分条件をネットの収束性に着目する事で定式化できる。そのためにまず記号を定義する：テンプレート:Math theorem上の記号において、収束の速度がテンプレート:Math毎に異なる事を許容している事に注意されたい。すなわちあるテンプレート:Mathに対しては$d(x_{\lambda },x{\text{'}}_{\lambda })<\epsilon$であっても別のテンプレート:Mathに対しては$d(x_{\lambda },x{\text{'}}_{\lambda })\ge \epsilon$となる事も起こりうる。よって特に$\underset{d\in D}{\sup }d(x_{\lambda },x{\text{'}}_{\lambda })$は（仮にテンプレート:Mathが有限値であっても）テンプレート:Mvarに収束するとは限らない。テンプレート:Math theoremテンプレート:Math theorem擬距離の集合テンプレート:Mvar、テンプレート:Mvarが同一の一様構造を定めるとき、テンプレート:Mvar、テンプレート:Mvarは一様同値（テンプレート:Lang-en-short）であるという。

擬距離の任意の集合テンプレート:Mvarは一様有界な擬距離の集合と必ず同値になる：テンプレート:Math theorem

擬距離化可能性・距離化可能性

これまで擬距離の集合により定まる一様構造について述べてきたが、一様構造がただ一つの（擬）距離から定まる条件を特徴づける事もできる：テンプレート:Math theorem

なお、一様構造自身の距離化可能性と一様構造が定める位相の距離化可能性は必ずしも一致せず、一様構造自身が距離化可能ではないのに、一様構造が定める位相の距離化可能な場合がある。

可算個の擬距離により定まる場合

可算個の擬距離の集合から定まる一様構造は擬距離化可能である：テンプレート:Math theorem上記の定理は特に可算個の擬距離空間の直積を考える場合に重要である。直積$P=\prod _{i\in \mathbb{N}}{X}_i$には直積一様構造が定まるが、上の定理からこの一様構造が擬距離から定まる事がわかる。実際、テンプレート:Mvar上の擬距離テンプレート:Mvarとテンプレート:Mvarへの射影テンプレート:Mvarの合成によりテンプレート:Mvar上の擬距離$d{\text{'}}_i(x,y):=d_i({\pi }_i(x),{\pi }_i(x))$を定義して、これら可算個の擬距離から上の定理のように1つの擬距離テンプレート:Mvarを定めると、テンプレート:Mvar上の直積一様構造がテンプレート:Mvarの定める一様構造と一致することがわかる。

一様連続性の擬距離による特徴づけ

一様連続性を擬距離の集合を使う事で特徴づける事もできる。この特徴づけにより、上述の一様連続性の定義は義距離空間における一様連続性の定義の自然な一般化になっている事が確認できる。

位相群上の一様構造の擬距離による特徴づけテンプレート:Anchors

位相群テンプレート:Mvar上の左一様構造$ℒ$および右一様構造$ℛ$は以下のようにも特徴づけられる：テンプレート:Math theorem上記の定理は位相群の一様構造が左不変もしくは右不変な擬距離で定まる事を示しているが、特に位相ベクトル空間の場合はこれらの擬距離がセミノルムから定まるものなのかが重要となり、これについては以下の定理が知られている。テンプレート:Math theorem位相ベクトル空間$(V,𝒪)$の位相$𝒪$がセミノルムから定まっていれば、$(V,𝒪)$の一様構造も同じセミノルムの族から定まる事を容易に示せる。なお、局所凸でない場合もF-ノルムは定義可能である。

完備性と完備化

本節ではまず、位相空間における点列概念の２つの一般化であるネットとフィルターに対し、コーシー列の概念の一般化であるコーシーネットの概念とコーシーフィルターの概念を定義し、これらをベースにして一様空間の完備性を定義し、最後の一様空間の完備化を扱う。

完備性

テンプレート:Math theorem上で「少なくとも１つ極限を持つ」という言い方をしているのは、$𝒰$が定める位相構造がハウスドルフでない限り、ネットやフィルターの収束の一意性は保証されないからである。なお擬距離空間においては完備性は「コーシー列（＝点列でコーシーなもの）は少なくとも１つ極限を持つ」という事と同値であるが、一般の一様空間の場合は必ずしも同値ではない。テンプレート:Math theorem上記の定理の条件を満たす$\overline{X}$は必ずしも一意ではない。しかしテンプレート:Mvarが定める位相がハウスドルフであれば一意である事が保証される。

一様収束性

本節では集合テンプレート:Mvarから一様空間$(Y,𝒰)$への写像全体の集合テンプレート:Mathに一様構造が入る事を見る。この一様構造がテンプレート:Mathに定める位相におけるネットの収束をネットの一様収束という。本節では一様収束のいくつかの関連概念をまとめて扱うため、テンプレート:Mvarの部分集合の集合$𝒮$を考え、「$𝒮$の元に関する一様収束」という概念を導入する。具体的には$𝒮$として以下の３種類を考える：

1. $𝒮=\{X\}$
2. $𝒮=\{X$の一点集合$\}$
3. $𝒮=\{X$のコンパクトな部分集合$\}$

最後のものに関してはテンプレート:Mvarに位相構造が入っている事を仮定している。通常の一様収束は最初のものであり、２番目は各点収束、３番目はコンパクト収束である。テンプレート:Math theorem特に、$𝒮$の元に関する一様収束（の一様構造、位相構造）において、

1. $𝒮=\{X\}$のとき、単に一様収束（の一様構造、位相構造）という。
2. $𝒮=\{X$の一点集合$\}$のとき、各点収束（の一様構造、位相構造）という。
3. $𝒮=\{X$のコンパクトな部分集合$\}$のときコンパクト収束（の一様構造、位相構造）という。

$𝒮$の元に関する一様収束の一様構造は以下のように擬距離により特徴づける事が可能である。よって特に擬距離空間においては我々の考えている一様収束音概念が通常の一様収束の概念と一致する事がわかる：テンプレート:Math theorem

コンパクト収束に関しては以下が成立する： テンプレート:Math theorem

一様収束の一様構造は以下の性質を満たす： テンプレート:Math theorem

同程度連続性とアスコリ＝アルツェラの定理

テンプレート:See alsoテンプレート:Math theorem 上の2における一様連続性は、テンプレート:Mvarにはテンプレート:Mathに一様収束の一様構造を入れたものをテンプレート:Mvarに制限した一様構造を入れ、テンプレート:Mathにはテンプレート:Mvarからテンプレート:Mvarへの写像全体の集合に入る一様収束に関する一様構造を入れたときのものである。

コンパクト性と全有界性

コンパクトな位相空間上の一様構造

コンパクトな距離空間から距離空間への連続写像は必ず一様連続になる事が知られているが、この事実は一様空間に一般化できる：テンプレート:Math theorem上の定理から以下の重要な帰結が従う：テンプレート:Math theoremなお（位相空間$(X,𝒪)$がコンパクトであっても）$𝒪$を定める一様構造は常に存在するとは限らない。前述のようにそのような一様構造が存在する必要十分条件は$(X,𝒪)$が完全正則である事である。しかし$(X,𝒪)$がコンパクトな場合は正則ハウスドルフ性を満たせば完全正則である（テンプレート:仮リンク）ので、$(X,𝒪)$が正則ハウスドルフかつコンパクトであれば$𝒪$を定める一様構造が存在する。

全有界性とコンパクト

距離空間においてはコンパクト性と「全有界かつ完備」が同値になる事が知られているが、これは一様空間においても成立する。

これを見るためにまず一様空間における全有界性を定義する：テンプレート:Math theorem全有界を使うとコンパクト性は以下のように特徴づけられる。テンプレート:Math theorem

歴史

アンドレ・ヴェイユが1937年に一様構造の明示的な定義を与える以前は、一様概念は完備性同様に距離空間に付随するものとして扱われていた。ブルバキの著書『Topologie Générale』では近縁系を用いた一様構造の定義が与えられ、またジョン・テューキーは一様被覆での定義を与えた。ヴェイユはまた、擬距離の族を用いた一様空間の特徴づけも与えている。

文献

参考文献

• テンプレート:Cite book
  • Kindle版：ASIN : B06XGRCCJ3
  • 翻訳版：テンプレート:Cite book
• テンプレート:Cite web
• テンプレート:Cite book
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  • ※下記文献の無料公開部分：テンプレート:Cite web
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更に学習するために

• Nicolas Bourbaki, General Topology (Topologie Générale), ISBN 0-387-19374-X (Ch. 1-4), ISBN 0-387-19372-3 (Ch. 5-10): Chapter II is a comprehensive reference of uniform structures, Chapter IX § 1 covers pseudometrics, and Chapter III § 3 covers uniform structures on topological groups
• John R. Isbell, Uniform Spaces ISBN 0-8218-1512-1
• I. M. James, Introduction to Uniform Spaces ISBN 0-521-38620-9
• I. M. James, Topological and Uniform Spaces ISBN 0-387-96466-5
• John Tukey, Convergence and Uniformity in Topology; ISBN 0-691-09568-X
• André Weil, Sur les espaces à structure uniforme et sur la topologie générale, Act. Sci. Ind. 551, Paris, 1937

関連項目

• 距離空間
• 完備距離空間
• 一様連続
• 空間 (数学)
• 位相空間
• coarse空間