Club集合

テンプレート:小文字 club集合 (クラブしゅうごう) あるいは閉非有界集合は、極限順序数の部分集合のうち、順序位相の意味で閉であり、基準となっている極限順序数の中で非有界なものである。

テンプレート:En という名前は、テンプレート:En (閉) と テンプレート:En (非有界) の合成語である。

正式な定義

正式には、$\kappa$ を極限順序数として、$C\subset \kappa$ が $\kappa$ の中で閉であるということは、任意の $\alpha <\kappa$ に対して、「 $\sup (C\cap \alpha )=\alpha \ne 0$ ならば $\alpha \in C$」となることである。従って、$C$ の中の点列の極限が $\kappa$ 未満であればそれは $C$ に属する。

$\kappa$ を極限順序数として、$C\subset \kappa$ が $\kappa$ の中で非有界であるということは、任意の $\alpha <\kappa$ に対して、$\alpha <\beta$ なる $\beta \in C$ が存在するということである。

閉かつ非有界な集合をclub集合という。閉な真クラスも同様に定義される(全ての順序数による真クラスの中で、順序数の任意の真クラスは非有界である)。

例として、可算極限順序数全てによる集合は ${\omega }_1$ の中でclubである。しかし、それより大きい極限順序数の中ではclubではない。閉でないし非有界でもないからである。正則基数 $\kappa$ に対して、$\kappa$ 未満の極限順序数全てによる集合は $\kappa$ 内でclubである。

clubフィルター

$\kappa$ を共終数 $\lambda$ の極限順序数とする。ある $\alpha <\lambda$ に対して、列 $⟨C_{\xi }:\xi <\alpha ⟩$ が $\kappa$ のclub集合の列であったとする。このとき、$\bigcap _{\xi <\alpha }{C}_{\xi }$ もclubである。これを見るために、閉集合たちの共通部分は閉集合であるのは簡単なので、この集合が非有界であることを確かめる。

${\beta }_0<\kappa$ を任意にとる。ある $n<\omega$ に対して ${\beta }_n$ が存在するとき、$C_{\xi }$ から ${\beta }_{n+1}^{\xi }>{\beta }_n$ となるように、${\beta }_{n+1}^{\xi }$ をとる。これは各 $C_{\xi }$ が非有界だから可能。そして、これらによる集合は順序数 $\lambda$ 未満の長さであり、この集合の上限は $\kappa$ 未満である。そこで、これを ${\beta }_{n+1}$ と定める。この方法により、可算列 ${\beta }_0,{\beta }_1,{\beta }_2,\dots$ を得る。

この列の極限は ${\beta }_0^{\xi },{\beta }_1^{\xi },{\beta }_2^{\xi },\dots$ の極限でもある。そして各 $C_{\xi }$ は閉で $\lambda$ が非可算なので、この極限は各 $C_{\xi }$ の元であるべきで、これは ${\beta }_0<\kappa$ より真に大きい $\bigcap _{\xi <\alpha }{C}_{\xi }$ の元である。これで $\bigcap _{\xi <\alpha }{C}_{\xi }$ が非有界であることが示された。このことから、$\kappa$ が正則基数であるとき $\{S\subset \kappa :\mathrm{\exists }C\subset S\text{ such that }C\text{ is club in }\kappa \}$ は非自明な $\kappa$ 上の $\kappa$ -完備フィルターである。これをclubフィルターといい、$\mathrm{club}(\kappa )$ と表す。clubフィルターは対角線共通部分 (テンプレート:En) について閉じている。

これがフィルターであることを見る。

まず、$\kappa \in \mathrm{club}(\kappa )$ である( $\kappa$ 自身は $\kappa$ のclub集合である)。$x\in \mathrm{club}(\kappa )$ ならば、$x$ を部分集合としてもつ $\kappa$ の部分集合はやはり $\mathrm{club}(\kappa )$ の元である。 $\kappa$ -完備であることは上で証明してあった。よって、これでフィルター性は確認された。

$\mathrm{club}(\kappa )$ が対角線共通部分について閉じていることを確認する。$⟨C_i|i<\kappa ⟩$ をclub集合の列とする。$C$ をその対角線共通部分すなわち $C={\mathrm{\Delta }}_{i<\kappa }{C}_i$ とする。 $C$ が閉であることを示す。$S\subset C$ かつ $S\subset \alpha <\kappa$ かつ $\bigcup S=\alpha$ とする。このとき、$\gamma \in S$ とすると、各 $\beta <\gamma$ に対して、$\gamma \in C_{\beta }$ である。各 $\beta <\alpha$ について、$\alpha \in C_{\beta }$ である。従って、$\alpha \in C$ である。よって、閉集合であることは示された。$C$ が非有界であることを示す。$\alpha <\kappa$ として、可算列 $⟨{\xi }_i|i<\omega ⟩$ を以下のように定義する: ${\xi }_0=\alpha$ とし、 ${\xi }_{i+1}$ を、${\xi }_{i+1}>{\xi }_i$ なるうちでの $\bigcap _{\gamma <{\xi }_i}{C}_{\gamma }$ の最小要素とする。そのような要素は、多くないclub集合の共通部分がclubなので存在する。そして $\xi =\bigcup _{i<\omega }{\xi }_i>\alpha$ かつ $\xi \in C$ である。それは、全ての $i<\xi$ について、その要素が $C_i$ の元だからである。よって、$C$ は非有界である。

$\kappa$ が正則基数なら、club集合の族の対角線共通部分はclub集合である。さらに言えば、$\kappa$ が正則で $ℱ$ を $\kappa ,$ 上のフィルターで対角線共通部分について閉じていて $\{\xi <\kappa :\xi \ge \alpha \}$ (ただし $\alpha <\kappa$ )の形の集合を全て要素に持つとすると $ℱ$ は全てのclub集合を要素に持つ。

関連項目

• 定常集合

参考文献

• Jech, Thomas, 2003. Set Theory: The Third Millennium Edition, Revised and Expanded. Springer. ISBN 3-540-44085-2.
• テンプレート:PlanetMath attribution
• テンプレート:PlanetMath attribution
• Levy, A. (1979) Basic Set Theory, Perspectives in Mathematical Logic, Springer-Verlag. Reprinted 2002, Dover. ISBN 0-486-42079-5