ポリガンマ関数

実数x に対するψ⁽ⁿ⁾(x)の挙動。 オレンジがディガンマ関数、黄色がトリガンマ関数、緑がテトラガンマ関数、赤がペンタガンマ関数、青がヘキサガンマ関数に対応する。

複素平面上でのディガンマ関数ψ(z)

複素平面上でのトリガンマ関数ψ⁽¹⁾(z)

複素平面上でのテトラガンマ関数ψ⁽²⁾(z)

複素平面上でのペンタガンマ関数ψ⁽³⁾(z)

数学において、ポリガンマ関数（ぽりがんまかんすう、テンプレート:Lang-en-short）とは、ガンマ関数の対数微分による導関数として定義される特殊関数。ディガンマ関数やテンプレート:仮リンクはポリガンマ関数の一種である。

定義

ガンマ関数 Γ(z) に対し、その対数微分

${\psi }^{(n)}(z)=\frac{d^{n+1}}{d{z}^{n+1}}\ln \mathrm{\Gamma }(z)=\frac{d^n}{d{z}^n}\psi (z)$

で、定義される関数をポリガンマ関数と呼ぶ。

ψ(z), ψ⁽¹⁾(z), ψ⁽²⁾(z), ψ⁽³⁾(z), ψ⁽⁴⁾(z) は、それぞれディ-、トリ-、テトラ-、ペンタ-、ヘキサ-ガンマ関数と呼ばれる。

ポリガンマ関数 ψ⁽ⁿ⁾(z ) は z = 0, −1, −2, ... で n + 1 位の極をもち，それらの点を除く全複素平面では解析的になる。

漸化式

ポリガンマ関数は次の漸化式を満たす。

${\psi }^{(n)}(z+1)={\psi }^{(n)}(z)+\frac{(-1{)}^{n}n!}{z^{n+1}}$

級数表示

ポリガンマ関数はz ≠0, -1, -2, -3...で次の級数表示を持つ。

• $\psi (z)=-\gamma -\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(\frac{1}{z+n}-\frac{1}{n+1})$

• ${\psi }^{(n)}(z)=(-1{)}^{n+1}n!\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{(z+k{)}^{n+1}}(n=1,2,3,\cdots )$

また、z =0でのテイラー展開により、|z |<1の領域で次のように表される。

• $\psi (z+1)=-\gamma +\sum _{k=2}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^k\zeta (k)z^{k-1}$

• ${\psi }^{(n)}(z+1)=(-1{)}^{n+1}\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{k-1}(n+k-1)!\zeta (n+k)z^{k-1}}{(k-1)!}(n=1,2,3,\cdots )$

但し、γ =0.5772...はオイラーの定数、ζ(n )はリーマンゼータ関数を表す。

積分表示

Rez >0のとき、ポリガンマ関数は次の積分表示を持つ。

• $\psi (z)=-\gamma +\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{e^{-t}-e^{-zt}}{1-e^{-t}}dt$

• ${\psi }^{(n)}(z)=(-1{)}^{n+1}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{t^n{e}^{-zt}}{1-e^{-t}}dt(n=1,2,\cdots )$

相反公式

ガンマ関数の相反公式に対し、対数微分をとることで次の関係式が導かれる。

$(-1{)}^n{\psi }^{(n)}(1-z)-{\psi }^{(n)}(z)=\pi \frac{d^n}{d{z}^n}\cot \pi z$

但し、cot πz は余接関数を表す。

漸近展開

z →∞　(|argz | < π)のとき、ポリガンマ関数は次の漸近展開をもつ。

• $\psi (z)\sim \ln z-\frac{1}{2z}-\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{B_{2n}}{2n{z}^{2n}}$

• ${\psi }^{(n)}(z)\sim (-1{)}^{(n-1)}(\frac{(n-1)!}{z^n}+\frac{n!}{2z^{n+1}}+\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{B_{2k}(2k+n-1)!}{(2k)!z^{2k+n}})(n=1,2,\cdots )$

但し、B_2kはベルヌーイ数である。

特殊値

ポリガンマ関数は、m=1において、次の値をとる。

• $\psi (1)=-\gamma$
• ${\psi }^{(n)}(1)=(-1{)}^{n+1}n!\zeta (n+1)(n=1,2,\cdots )$

ポリガンマ関数は、m≧2の正の整数において、次の値をとる。

• $\psi (m)=-\gamma +\sum _{k=1}^{m-1}\frac{1}{k}=-\gamma +H_{m-1}(m=2,3,4,\cdots )$

• ${\psi }^{(n)}(m)=(-1{)}^{n}n!\{-\zeta (n+1)+\sum _{k=1}^{m-1}\frac{1}{k^{n+1}}\}(n=1,2,3,\cdots ,m=2,3,4,\cdots )$

但し、γ はオイラーの定数、H_m-1は調和数を表す。

参考文献

• Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. Dover (1965) ISBN 978-0486612720
• E. T. Whittaker and G. N. Watson, A Course of Modern Analysis. Cambridge University Press (1927; reprinted 1996) ISBN 978-0521588072
• George B. Arfken and Hans J. Weber, Mathematical Methods for Physicists, Academic Press; ジョージ．ブラウン・アルフケン、ハンス．J・ウェーバー (著)、 権平健一郎、神原武志、小山直人 (翻訳) 『基礎物理数学第4版Vol．3　特殊関数』 講談社 (2001) ISBN 978-4061539792

関連項目

• ガンマ関数
• ディガンマ関数