グラム行列

テンプレート:出典の明記 線形代数学において正方行列 $𝑨$ が与えられたとき, ${𝑨}^{*}𝑨$ を $𝑨$ のグラム行列(ぐらむぎょうれつ, テンプレート:Lang-en-short)という。ここで、${𝑨}^{*}$は$𝑨$の随伴である。

$𝑨=({𝒂}_1\dots {𝒂}_n)$ であるとき, $𝑨$ のグラム行列の $(i,j)$ 成分は ${𝑪}^n$ における標準内積を用いて $⟨{𝒂}_i,{𝒂}_j⟩$ と表せる。このことから、 内積空間の $n$ 個のベクトル ${𝒙}_1,\dots ,{𝒙}_n$ が与えられたときに $⟨{𝒙}_i,{𝒙}_j⟩$ を $(i,j)$ 成分にもつ行列のこともグラム行列という。

性質

グラム行列は半正定値エルミート行列であり、$A$ のグラム行列 $G$ について下記の 3 条件は同値である。

• $𝑨$ は正則行列
• $𝑮$ は正則行列
• $𝑮$ は正定値エルミート行列

関連項目

• 線形代数学
• 内積