ペティス積分

数学の分野におけるペティス積分（ペティスせきぶん、テンプレート:Lang-en-short）あるいはゲルファント-ペティス積分（イズライル・ゲルファントとテンプレート:仮リンクの名にちなむ）とは、双対性を利用することによって、バナッハ空間に値を取るような測度空間上の関数へとルベーグ積分の定義を拡張したものである。測度空間がルベーグ測度を備える区間であるような場合に対して、ゲルファントによって導入された。強積分であるボホナー積分と区別されて、弱積分と呼ばれることもある。

定義

$(X,\mathrm{\Sigma },\mu )$ を測度空間、$B$ をバナッハ空間とし、$f:X\to B$ および $E\in \mathrm{\Sigma }$ を定める。次を満たすような $A\in B$ が存在するとき、それを $f$ の $E$ についてのペティス積分と呼ぶ：

$⟨v,A⟩=\underset{E}{\int }⟨v,f(t)⟩d\mu (t)\mathrm{\forall }v\in B^{\prime }.$

但し $B^{\prime }$ は $B$ の双対空間とする。このような $A$ は次のように表記される：

$A=\underset{E}{\int }f(t)d\mu (t).$

関連項目

• ベクトル測度
• 弱可測関数

参考文献

• J. K. Brooks, Representations of weak and strong integrals in Banach spaces, Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A. 63, 1969, 266–270. Fulltext
• I.M. Gel'fand, Sur un lemme de la théorie des espaces linéaires, Commun. Inst. Sci. Math. et Mecan., Univ. Kharkoff et Soc. Math. Kharkoff, IV. Ser. 13, 1936, 35–40 Zbl 0014.16202
• M. Talagrand, Pettis Integral and Measure Theory, Memoirs of the AMS no. 307 (1984)
• テンプレート:SpringerEOM