カーダー・パリージ・ザン方程式

カーダー・パリージ・ザン方程式（テンプレート:Lang-en-short) は、テンプレート:仮リンク、ジョルジョ・パリージ、イー・チャン・ジャン テンプレート:En らによって提案されたテンプレート:Sfn、ランジュバン型の非線形の確率偏微分方程式であり、結晶の界面成長を記述する。しばしば提案した三人の頭文字を取って、KPZ方程式と略記される。

$\frac{\partial h}{\partial t}(\overrightarrow{x},t)=\nu {\mathrm{\nabla }}^{2}h(\overrightarrow{x},t)+\frac{\lambda }{2}{\left(\mathrm{\nabla }h\right)}^2(\overrightarrow{x},t)+\eta (\overrightarrow{x},t).$

$h(\overrightarrow{x},t)$ は、時刻 $t$ での $\overrightarrow{x}$ における界面の高さを表し、$\nu$ は界面張力、$\lambda$ は非線形効果の強さ、$\eta (\overrightarrow{x},t)$ は確率的なノイズを表す。ノイズ項 $\eta (\overrightarrow{x},t)$ は、

$\{\begin{array}{cc}⟨\eta (\overrightarrow{x},t)⟩& =0\\ ⟨\eta (\overrightarrow{x},t)\eta (\overrightarrow{x}{}^{\prime },t^{\prime })⟩& =2D{\delta }^d(\overrightarrow{x}-\overrightarrow{x}{}^{\prime })\delta (t-t^{\prime })\end{array}$

を満たすホワイトノイズ、特にテンプレート:仮リンクであるとする。ここで $⟨\cdot ⟩$ は角括弧で囲まれた物理量の配位空間での平均を表し、$\delta (\cdot )$ はディラックのデルタを表す。また $D$ はノイズの強さである。

界面の高さ $h(\overrightarrow{x},t)$ は、$\overrightarrow{x}$ に対する一価関数であることを仮定する。この仮定により、KPZ方程式で記述される界面は巨視的にはオーバーハングを持たない。

方程式の構成

右辺第2項の非線形項 $\frac{\lambda }{2}{\left(\mathrm{\nabla }h\right)}^2(\overrightarrow{x},t)$ がなければ、方程式はエドワーズ・ウィルキンソン方程式 テンプレート:Enテンプレート:Sfn になる。 界面の傾きを $\theta$ とし、その方向に速度 $v$ で界面が成長すると考えると、微小時間 $\delta t$ の間に、界面の高さは $\delta h={[{\left(v\delta t\right)}^2+{(v\delta t\tan \theta )}^2]}^{1/2}$ だけ変化する。$\tan \theta =\left|\mathrm{\nabla }h\right|$ と置き換えられることに注意すれば、

$\frac{\delta h}{\delta t}=v{[1+{\left(\mathrm{\nabla }h\right)}^2]}^{1/2}\simeq v+\frac{v}{2}{\left(\mathrm{\nabla }h\right)}^2+\cdots ,$

とテイラー展開することができる。展開の第1項は座標変換によって消去することができるので、最も主要な項は第2項の非線形項であり、これが KPZ方程式の非線形項を与える。

方程式の変形

コール・ホップ変換

高さの関数 $h(\overrightarrow{x},t)$ を関数 $W(\overrightarrow{x},t)$ を用いて、$h(\overrightarrow{x},t)=(2\nu /\lambda )\ln W(\overrightarrow{x},t)$ と変換すると、KPZ方程式は以下のように書き直される。この変換をコール・ホップ変換という。

$\frac{\partial W}{\partial t}(\overrightarrow{x},t)=\nu {\mathrm{\nabla }}^{2}W(\overrightarrow{x},t)+\frac{\lambda }{2\nu }\eta (\overrightarrow{x},t)W(\overrightarrow{x},t).$

これは時間依存するランダム・ポテンシャル中での拡散方程式になっている。 この方程式の解は形式的に、以下の形に書ける。

$W(\overrightarrow{x},t)=\underset{(\overrightarrow{0},0)}{\overset{(\overrightarrow{x},t)}{\int }}D\overrightarrow{x}{}^{\prime }\left(t^{\prime }\right)\exp \{-\underset{0}{\overset{t}{\int }}d{t}^{\prime }[\frac{\nu }{2}{\left(\frac{d\overrightarrow{x}{}^{\prime }\left(t^{\prime }\right)}{d{t}^{\prime }}\right)}^2+\frac{\lambda }{2\nu }\eta (\overrightarrow{x}{}^{\prime },t^{\prime })]\}.$

上記の経路積分より、$W(\overrightarrow{x},t)$ は、$(\overrightarrow{0},0)$ と $(\overrightarrow{x},t)$ を結ぶ、$d+1$ 次元空間上の方向付きの高分子 テンプレート:En のすべての配位に対するボルツマン因子の和であると見なせるテンプレート:Sfnテンプレート:Sfn。

バーガース方程式への変換

別の有用な変換として、ベクトル場 $\overrightarrow{v}(\overrightarrow{x},t)=-\mathrm{\nabla }h(\overrightarrow{x},t)$ を用いて、界面の高さ $h(\overrightarrow{x},t)$ を $\overrightarrow{v}$ で書き換えると、方程式は以下の形になる。

$\frac{\partial \overrightarrow{v}}{\partial t}(\overrightarrow{x},t)+\lambda \overrightarrow{v}(\overrightarrow{x},t)\cdot \left(\mathrm{\nabla }\overrightarrow{v}\right)(\overrightarrow{x},t)=\nu {\mathrm{\nabla }}^2\overrightarrow{v}(\overrightarrow{x},t)-\mathrm{\nabla }\eta (\overrightarrow{x},t).$

ここで $\lambda =1$ と置けば、これは $\overrightarrow{v}$ を渦なしの速度場としたときの、バーガース方程式にノイズを加えたものになっている。 あるいは $\lambda \overrightarrow{v}(\overrightarrow{x},t)=-\lambda \mathrm{\nabla }h(\overrightarrow{x},t)$ を改めて $\overrightarrow{v}(\overrightarrow{x},t)$ に置き換えてもバーガース方程式の形に変形できる。

スケーリング

テンプレート:要出典 KPZ方程式をバーガース方程式へ変換した後、時間と空間に対し適当なスケール変換を施すと、

$\overrightarrow{x}\to b\overrightarrow{x},t\to b^{z}t,\overrightarrow{v}\to b^{\alpha -1}\overrightarrow{v}(h\to b^{\alpha }h),$

ノイズ $\eta (\overrightarrow{x},t)$ について、$⟨\eta (\overrightarrow{x},t)\eta (\overrightarrow{x}{}^{\prime },t^{\prime })⟩=2D{\delta }^d(\overrightarrow{x}-\overrightarrow{x}{}^{\prime })\delta (t-t^{\prime })$ の関係を仮定したことに注意すれば、デルタ関数について、

$\delta \left(x\right)\to b^{-1}\delta \left(x\right),\delta \left(t\right)\to b^{-z}\delta \left(t\right),$

と変換されるので、バーガース方程式は、

$\begin{array}{cc}{b}^{\alpha -z-1}\frac{\partial \overrightarrow{v}}{\partial t}(\overrightarrow{x},t)+b^{2\alpha -3}\lambda \overrightarrow{v}(\overrightarrow{x},t)\cdot \left(\mathrm{\nabla }\overrightarrow{v}\right)(\overrightarrow{x},t)& =b^{\alpha -3}\nu {\mathrm{\nabla }}^2\overrightarrow{v}(\overrightarrow{x},t)-b^{-(d+2+z)/2}\mathrm{\nabla }\eta (\overrightarrow{x},t),\\ \frac{\partial \overrightarrow{v}}{\partial t}(\overrightarrow{x},t)+b^{\alpha +z-2}\lambda \overrightarrow{v}(\overrightarrow{x},t)\cdot \left(\mathrm{\nabla }\overrightarrow{v}\right)(\overrightarrow{x},t)& =b^{z-2}\nu {\mathrm{\nabla }}^2\overrightarrow{v}(\overrightarrow{x},t)-b^{(z-2\alpha -d)/2}\mathrm{\nabla }\eta (\overrightarrow{x},t).\end{array}$

となる。ここで $\lambda$ の項はスケール変換に対して不変であるとすると、指数 $\alpha$, $z$ について、$\alpha +z=2$ が成り立つことになる。

参考文献

• テンプレート:Cite journal

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関連項目

• フラクタル
• 結晶成長
• 繰り込み群