半双線型形式

数学の特に線型代数学における複素ベクトル空間 テンプレート:Mvar 上の半双線型形式（はんそうせんけいけいしき、テンプレート:Lang-en-short; 準双線型形式）とは、写像 テンプレート:Math で一方の引数に関して線型かつ他方の引数に関してテンプレート:仮リンクとなるようなものを言う。名称は「1 と 1/2」を意味するラテン語の倍数接頭辞 sesqui- に由来する。これと対照して、双線型形式は両引数に関して線型であることを意味するが、特に専ら複素数体上の空間を扱うような多くの文献において、半双線型形式の意味で「双線型形式」と呼ぶものがある。

動機付けとなる例は複素ベクトル空間上の内積で、これは双線型ではないがその代わり半双線型である。後述の幾何学的動機付けの節も参照。

定義と慣習

何れの引数に関して線型とするかの慣習には異なる流儀が存在するが、本項では第一引数は反線型（つまり共軛線型）で、第二引数に関して線型であるものとする。これは物理学（の、本質的にはどこでもだが、もとは量子力学におけるポール・ディラックのブラケット記法）で用いられる規約である。一方で数学分野ではこれと反対に書くことが習慣づいているテンプレート:Citation needed。

具体的に、写像 テンプレート:Math が半双線型であるとは、

$\begin{array}{cc}& \varphi (x+y,z+w)=\varphi (x,z)+\varphi (x,w)+\varphi (y,z)+\varphi (y,w)\\ & \varphi (ax,by)=\overline{a}b\varphi (x,y)\end{array}$

が任意の テンプレート:Math および テンプレート:Math に関して成立するときに言う。

複素ベクトル空間 テンプレート:Mvar のテンプレート:仮リンク テンプレート:Mvar を考えれば、半双線型写像を複素双線型写像 テンプレート:Math と見ることもできる。ここでテンソル積の普遍性を用いれば、これらは複素線型写像 テンプレート:Math との間に一対一対応を持つ。

また、テンプレート:Math を固定して考えるとき、半双線型形式 テンプレート:Math に対して写像 テンプレート:Math は テンプレート:Mvar 上の線型汎函数（つまり双対空間 テンプレート:Mvar の元）であり、同様に写像 テンプレート:Math は テンプレート:Math 上の共軛線型汎函数になる。

テンプレート:Mvar 上の任意の半双線型形式 テンプレート:Mvar が与えられたとき、その共軛転置

$\psi (w,z)=\overline{\phi (z,w)}$

を考えることにより、新たな半双線型形式を得ることができる。一般には、テンプレート:Mvar と テンプレート:Mvar は異なるが、両者が一致するとき テンプレート:Mvar はエルミート的 (テンプレート:En) であると言う。あるいは一方が他方の符号を変えたものとなるならばテンプレート:Mvar は歪エルミート的 (テンプレート:En) であると言う。任意の半双線型形式はエルミート形式と歪エルミート形式との和に書くことができる。

幾何学的動機付け

双線型形式を平方 (テンプレート:Math) とするならば、半双線型形式はユークリッドノルム (テンプレート:Math) である。

半双線型形式に付随するノルムは複素単位円（ノルムが テンプレート:Math の複素数全体）上の複素数を掛ける操作に関して不変であるが、双線型形式に付随するノルムは平方に関してテンプレート:仮リンクである。この意味で、双線型写像は「代数的に」より自然だが、半双線型形式は「幾何学的に」より自然である。

複素ベクトル空間上の双線型形式 テンプレート:Mvar と、それに付随するノルム テンプレート:Math に対して

$|ix{|}_B=B(ix,ix)=i^{2}B(x,x)=-|x{|}_B$

となるが、これと対照的に、複素ベクトル空間上の半双線型形式 テンプレート:Mvar とそれに付随するノルム テンプレート:Math に関しては

$|ix{|}_S=S(ix,ix)=\overline{i}iS(x,x)=|x{|}_S$

が成り立つ。

エルミート形式

テンプレート:Main エルミート形式あるいは対称半双線型形式とは、半双線型形式 テンプレート:Math であって

$h(w,z)=\overline{h(z,w)}$

を満たすものを言う。テンプレート:Math 上の標準エルミート形式（「物理学」の規約、第一変数に関して反線型で第二引数に関して線型、に従うもの）は、

$⟨w,z⟩=\sum _{i=1}^n{\overline{w}}_i{z}_i$

で与えられる。より一般に、任意の複素ヒルベルト空間上の内積はエルミート形式である。

エルミート形式を備えたベクトル空間 テンプレート:Math をエルミート空間と言う。

テンプレート:Mvar が有限次元空間のとき、テンプレート:Mvar の任意の基底 テンプレート:Mvar に関して、エルミート形式 テンプレート:Mvar はエルミート行列 テンプレート:Mvar によって

$h(w,z)={\overline{𝐰}}^{T}H𝐳$

と表現される。ただし、テンプレート:Math はこの基底に関して テンプレート:Mvar を表現するベクトルであり、行列 テンプレート:Math の成分は テンプレート:Math で与えられる。

エルミート形式に付随する二次形式 テンプレート:Math は常に実である。実際には、半双線型形式がエルミートであることと、それに付随する二次形式が任意の テンプレート:Math に対して実となることが同値であることが示せる。

歪エルミート形式

テンプレート:Main 歪エルミート形式あるいは反対称半双線型形式とは、半双線型形式 テンプレート:Math であって、

$\epsilon (w,z)=-\overline{\epsilon (z,w)}$

を満たすものを言う。任意の歪エルミート形式はエルミート形式に [[虚数単位|テンプレート:Mvar]] を乗じたものとして書くことができる。

テンプレート:Mvar が有限次元空間ならば、テンプレート:Mvar の任意の基底 テンプレート:Math に関して、歪エルミート形式は歪エルミート行列 テンプレート:Mvar によって

$\epsilon (w,z)={\overline{𝐰}}^{T}A𝐳$

と表現される。歪エルミート形式に付随する二次形式 テンプレート:Math は常に純虚である。

一般化

半双線型形式の概念は、テンプレート:日本語版にない記事リンクを備える任意の環とその上の加群に対して一般化することができる。基礎環は必ずしも可換でない環としてよく、反準同型が複素共軛の代わりを果たす。二つの環 テンプレート:Mvar, 左 テンプレート:Mvar-加群 テンプレート:Mvar, 左 テンプレート:Mvar-加群 テンプレート:Mvar, テンプレート:Math-両側加群 テンプレート:Mvar および テンプレート:Mvar 上の反準同型 テンプレート:Mvar に対して、積加群 テンプレート:Math から テンプレート:Mvar への写像 テンプレート:Math が以下の条件

• $\mathrm{\Phi }(x+x^{\prime },y)=\mathrm{\Phi }(x,y)+\mathrm{\Phi }(x^{\prime },y)$
• $\mathrm{\Phi }(x,y+y^{\prime })=\mathrm{\Phi }(x,y)+\mathrm{\Phi }(x,y^{\prime })$
• $\mathrm{\Phi }(ax,y)=a\mathrm{\Phi }(x,y)$
• $\mathrm{\Phi }(x,by)=\mathrm{\Phi }(x,y)b^J$

を満たすとき、テンプレート:Mvar に関する右準双線型写像 (テンプレート:Fr) であるという。左準双線型写像も同様に定義される。テンプレート:Math と取った（および特に テンプレート:Math とした）準双線型写像は準双線型形式 (テンプレート:Fr) と呼ばれる。（変換を右肩に載せる「冪記法」は群論ではよく用いられる）

テンプレート:仮リンクは、自身の著書 テンプレート:En の 5 章において、上記の環 テンプレート:Mvar として体 テンプレート:Mvar をとり、テンプレート:Mvar-線型空間 テンプレート:Mvar と、反準同型 テンプレート:Mvar として テンプレート:Mvar 上の反線型写像 テンプレート:Mvar を考えて得られる、テンプレート:Mvar 上の半双線型形式を用いて互いに双対な線型多様体の特徴付けを行った。ベーアはこのような形式を テンプレート:Mvar 上の テンプレート:Mvar-形式と呼んだ。通常の半双線型形式は テンプレート:Mvar が複素共軛であるときであり、また テンプレート:Mvar が恒等写像ならば双線型形式が得られる。

*-環と呼ばれる代数構造において、反準同型は テンプレート:Math で表され、それによって構築される半双線型形式を考えることができる。そのようなものの特別の場合として、歪対称双線型形式、エルミート形式、歪エルミート形式はより広い文脈において考えることができる。

特にテンプレート:仮リンクにおいて テンプレート:Mvar-対称形式という用語も見られ、テンプレート:Math の場合として対称形式と歪対称形式が含まれる。同様に テンプレート:Mvar-エルミート形式（テンプレート:Mvar は テンプレート:Mvar の中心元）において テンプレート:Math はエルミート形式、テンプレート:Math は歪エルミート形式に対応する。

参考文献

• テンプレート:Cite book
• テンプレート:Cite book
• テンプレート:Cite book
• テンプレート:Cite book

外部リンク

• テンプレート:SpringerEOM
• テンプレート:PlanetMath
• テンプレート:Nlab
• テンプレート:ProofWiki