Sumset

テンプレート:Otheruses テンプレート:仮リンクにおいて、加法群 テンプレート:Mvar の 2つの部分集合 テンプレート:Mvar と テンプレート:Mvar の和（わ、テンプレート:Lang-en-short）とは、テンプレート:Mvar と テンプレート:Mvar の元ごとの和全体の成す集合

$A+B=\{a+b:a\in A,b\in B\}$

を言う。同じものを、アフィン幾何学周辺分野ではテンプレート:仮リンク テンプレート:Lang とも呼ぶ。例えば線型代数学において、二つの線型部分空間 テンプレート:Math のテンプレート:仮リンクテンプレート:Lang テンプレート:Math はこの意味の和集合として定義される。

テンプレート:Mvar の テンプレート:Mvar-重反復和集合 (テンプレート:Mvar-fold iterated sumset)（テンプレート:Mvar-倍集合）とは

$nA=\underset{n}{\underbrace{A+\cdots +A}}$

のこととする（ここで、テンプレート:Mvar は右辺の項数である）。

加法的組合せ論やテンプレート:仮リンクの多くの問題や結果を、この和集合を用いて言い表すことができる。例えば、ラグランジュの四平方定理は次の形で表すことができる。

$4◻=\mathbb{N}.$

ここに、$◻$ は平方数全体の成すの集合、テンプレート:Math は自然数全体の成す集合である。多くの研究がなされる主題として、"small doubling"（小さい倍化）を持つ集合（すなわち、2-倍集合 テンプレート:Math の大きさが（テンプレート:Mvar に比べて）小さくなるような集合 テンプレート:Mvar）の問題がある。テンプレート:仮リンク(Freiman's theorem)の例を参照。

関連項目

• テンプレート:仮リンク(Minkowski addition/subtraction)
• テンプレート:仮リンク(Restricted sumset)
• テンプレート:仮リンク(Sidon set)
• sum-free set
• シュニレルマン密度
• テンプレート:仮リンク(Shapley–Folkman lemma)

参考文献

• テンプレート:Cite book
• テンプレート:Cite book
• テンプレート:Cite book
• Terence Tao and Van Vu, Additive Combinatorics, Cambridge University Press 2006.

外部リンク

• テンプレート:MathWorld
• テンプレート:MathWorld
• テンプレート:Planetmath reference
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