Sum-free set

テンプレート:仮リンク(additive combinatorics)やテンプレート:仮リンク(additive number theory)では、アーベル群 G の部分集合 A が、sum-free とは、sumset $A\oplus A$ が A と互いに素であるときを言う。言い換えると、A が sum-free 集合とは、式 テンプレート:Math が テンプレート:Math では解を持たない場合を言う。

例えば、奇数全体からなる集合は、整数全体からなる集合の sum-free（部分）集合であり、N が偶数のとき、集合 テンプレート:Mathは、集合 テンプレート:Mathの大きな sum-free 部分集合となる。フェルマーの最終定理は、テンプレート:Math のときに、テンプレート:Math を除く全ての整数の n 乗からなる集合は、整数の sum-free 部分集合であることと言うことと同じである。

sum-free（部分）集合についてのいくつかの基本的疑問は、下記のような疑問がある。

• 整数 テンプレート:Mvar に対して、テンプレート:Math の sum-free 部分集合はどれくらい存在するのか？ベン・グリーン (Ben Green) は、 で、テンプレート:仮リンク(Cameron–Erdős conjecture)の予想のとおり $O(2^{N/2})$ であることを示した。（スローンの テンプレート:OEIS2C も参考。）
• アーベル群 G はどれくらい sum-free（部分）集合をもっているのか？
• アーベル群 G の持つ sum-free で最も大きな（部分）集合のサイズはいくつか？

sum-free（部分）集合が極大とは他のsum-free（部分）集合の真部分集合ではないものを言う。