環のスペクトル

抽象代数学と代数幾何学において，可換環 テンプレート:Mvar のスペクトル テンプレート:Math とは，テンプレート:Mvar のすべての素イデアルからなる集合である．通常ザリスキー位相と構造層をともに考え，それにより テンプレート:Math は局所環付き空間である．この形の局所環付き空間はアフィンスキームと呼ばれる．

ザリスキー位相

可換環 テンプレート:Mvar の任意のイデアル テンプレート:Mvar に対し，テンプレート:Mvar を テンプレート:Mvar を含む素イデアルの全体と定義する．この形の集合を閉集合と定義することで テンプレート:Math に位相を入れることができる．この位相をザリスキー位相と呼ぶ．

ザリスキー位相の基底を次のように構成できる．テンプレート:Math に対し，テンプレート:Mvar を テンプレート:Mvar を含まない テンプレート:Mvar の素イデアル全体と定義する．すると各 テンプレート:Mvar は テンプレート:Math の開集合であり，この形の開集合の全体はザリスキー位相の基底である．

テンプレート:Math は準コンパクトであるが，ほとんど決してハウスドルフではない．実際，テンプレート:Mvar の極大イデアルがちょうどこの位相での閉点である．同じ理由により，テンプレート:Math は一般には [[T1空間|テンプレート:Math 空間]]ではないテンプレート:Refnest．しかしながら，テンプレート:Math は必ず [[コルモゴロフ空間|テンプレート:Math 空間]]である．また，テンプレート:仮リンクでもある．

層とスキーム

ザリスキー位相を持った空間 テンプレート:Math が与えられると，その構造層 テンプレート:Mvar が開集合 テンプレート:Mvar 上 テンプレート:Math を テンプレート:Mvar の テンプレート:Mvar における局所化 テンプレート:Mvar とすることで定義される．これは テンプレート:仮リンクを定義し，したがって層を定義することを示すことができる．より詳しくは，開集合 テンプレート:Mvar たちはザリスキー位相の基底であるので，任意の開集合 テンプレート:Mvar に対し，これを テンプレート:Math の和集合として表し，テンプレート:Math とおく．この前層は層であることを確認でき，したがって テンプレート:Math は環付き空間である．この形の環付き空間に同型なものはアフィンスキームと呼ばれるテンプレート:要検証．一般のスキームはアフィンスキームを貼り合わせて得られる．

同様に，環 テンプレート:Mvar 上の加群 テンプレート:Mvar に対して，テンプレート:Math 上の層 $\tilde{M}$ を定義できる．加群の局所化を用いて，$\mathrm{\Gamma }(D_f,\tilde{M})=M_f$ とする．上のように，この構成は テンプレート:Math のすべての開集合上の前層に拡張し，貼り合わせの公理を満たす．この形の層は準連接層と呼ばれる．

テンプレート:Mvar が テンプレート:Math の点であるとき，すなわち素イデアルのとき，構造層の テンプレート:Mvar における茎は テンプレート:Mvar の テンプレート:Mvar における局所化に等しく，これは局所環である．したがって，テンプレート:Math は局所環付き空間である．

テンプレート:Mvar を整域とし，その分数体を テンプレート:Mvar とすると，環 テンプレート:Math をより具体的に以下のように記述できる．テンプレート:Mvar の元 テンプレート:Mvar が テンプレート:Mvar の点 テンプレート:Mvar において正則であるとは，テンプレート:Mvar を テンプレート:Mvar に属さない元として分数 テンプレート:Math として表せるときにいう．これは代数幾何学における正則関数の概念と一致することに注意．この定義を用いると，テンプレート:Math は テンプレート:Mvar のすべての点 テンプレート:Mvar において正則な テンプレート:Mvar の元全体の集合として記述できる．

関手として

圏論のことばを用いて テンプレート:Math が関手であることを見ることは有用である．任意の環準同型 テンプレート:Math は連続写像 テンプレート:Math を誘導する（なぜなら テンプレート:Mvar の任意の素イデアルの引き戻しは テンプレート:Mvar の素イデアルなので）．このようにして，テンプレート:Math は可換環の圏から位相空間の圏への反変関手と見ることができる．さらに，任意の素イデアル テンプレート:Mvar に対して，準同型 テンプレート:Mvar は局所環の準同型

$O_{f^{-1}(P)}\to O_P$

に落ちる．したがって，テンプレート:Math は可換環の圏から局所環付き空間の圏への反変関手をも定義している．実はそれは普遍的なそのような関手であり，したがって自然同型の違いを除いて関手 テンプレート:Math を定義するのに用いることができるテンプレート:Fact．

関手 テンプレート:Math は可換環の圏とアフィンスキームの圏の間の反変同値をもたらし，これらの圏はそれぞれもう一方の反対圏としばしば考えられる．

関連項目

• スキーム
• 射影スキーム
• 行列のスペクトル
• テンプレート:仮リンク
• テンプレート:Ill2
• テンプレート:Ill2
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参考文献

• テンプレート:Citation
• テンプレート:Citation
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外部リンク

• Kevin R. Coombes: The Spectrum of a Ring
• http://stacks.math.columbia.edu/tag/01LL, relative spec
• テンプレート:Cite web