正則局所環

可換環論において、正則局所環（せいそくきょくしょかん、テンプレート:Lang-en-short）とは、ネーター局所環 $(A, 𝔪)$ であって、剰余体 $k = A / 𝔪$ について $\dim A = \dim_{k} 𝔪 / 𝔪^{2}$ を満たすような環であるテンプレート:Refnest テンプレート:Sfn。ただし左辺はテンプレート:Mvar のクルル次元、右辺はテンプレート:Mvar ベクトル空間としての次元である。右辺の数はしばしば埋め込み次元（テンプレート:Lang-en-short）と呼ばれ $e m b d i m A$ と書かれることもあるテンプレート:Sfn。

正則局所環は代数幾何学において代数多様体の非特異点に対応するため中心的な役割を占めるテンプレート:Sfn。

ネーター局所環については次の包含関係が成り立つ。

例

以下ではクルル次元のことを単に次元と呼ぶ。

すべての体は0次元の正則局所環であり、0次元の正則局所環は体である。
すべての離散付値環は1次元の正則局所環であり、1次元の正則局所環は離散付値環であるテンプレート:Sfn。特にテンプレート:Mvar が体でテンプレート:Mvar を不定元とするとき形式的冪級数環テンプレート:Math は1次元の正則局所環である。
より一般にテンプレート:Mvar が体でテンプレート:Math を不定元とするとき形式的冪級数環テンプレート:Math はテンプレート:Mvar 次元の正則局所環である。
テンプレート:Mvar を有理素数とすれば、[[p進整数|テンプレート:Mvar進整数環]]は離散付値環ゆえ正則局所環であり、体を含まない。
テンプレート:Math を整数環としテンプレート:Mvar を不定元とすると局所化テンプレート:Math は2次元正則局所環で体を含まない。
テンプレート:仮リンクにより完備な等標数のテンプレート:Mvar 次元正則局所環で体を含むものはある体上の形式的冪級数環である。

次元 $d = \dim A$ のネーター局所環 $(A, 𝔪)$ について、次は同値であるテンプレート:Sfn テンプレート:Sfn。

テンプレート:Mvar は正則局所環。
$𝔪$ はテンプレート:Mvar 個の元で生成される。
${g r}_{𝔪} A ≃ k [X_{1}, X_{2}, \dots, X_{d}]$ 。ただし、右辺はテンプレート:Mvar 不定元の多項式代数で同型は $k = A / 𝔪$ 上の次数環としてのものとする。
大域次元が有限である： $g l d i m A < \infty$ 。
大域次元とクルル次元が一致する： $g l d i m A = d$ 。