ミルナーのK理論

テンプレート:要改訳 ミルナーのK-理論(Milnor K-theory)は、高次代数的K-理論を定義する初期の試みであり、テンプレート:Harvs により導入された。

定義

体 F の K₂ の計算により、ミルナーは「高次」K-群の次の定義を発見した。

$K_{*}^M(F):=T^{*}{F}^{\times }/(a\otimes (1-a)).$

このように、a ≠ 0, 1 により生成された両側イデアル(two-sided ideal)による乗法群 F^× のテンソル代数の商の次数付き部分である。n = 0, 1, 2 に対しては、これらは体のキレン(Quillen)の K-群に一致するが、n ≧ 3 に対しては一般には同値にならない。記号 $\{a_1,\dots ,a_n\}$ を $a_1\otimes \cdots \otimes a_n$ の像として定義すると、n = 2 は、テンプレート:仮リンク(Steinberg symbol)である。

テンソル代数のテンソル積は、$K_{*}^M(F)$ をテンプレート:仮リンク(graded-commutative)である次数付き環とする積 $K_m\times K_n\to K_{m+n}$ を導く。

例

例えば、n ≧ 2; に対し、$K_n^M({𝔽}_q)=0$である。$K_2^M(ℂ)$ は一意な非可算剰余群であり、$K_2^M(ℝ)$ は一意的な非可算剰余群と位数 2 の巡回群の直和である。$K_2^M({\mathbb{Q}}_p)$ は ${𝔽}_p$ の乗法群と非可算な剰余群の直和である。すべての奇素数 $p$ に対し、位数 $p-1$ の巡回群と位数 2 の巡回群の直和である。

応用

ミルナーのK-理論は、高次類体論で基本的な役割を果たし、1-次元類体論では、$K_1^M$ を変更する。

ミルナーのK-理論 modulo 2 は、k_*(F) と書かれ、ミルナー予想により、体 F のエタールコホモロジーとガロアコホモロジーへ関連付けられる。この事実はウラジーミル・ヴォエヴォドスキーにより証明された。 ミルナー予想の一般化であるブロック・加藤の予想（ノルム剰余同型定理）は、ヴォエヴォドスキーにより証明された。この証明にはテンプレート:仮リンクらの結果が重要な役割を果たしているテンプレート:Sfn。

次のように記号を使うと、k_n(F) から F のテンプレート:仮リンク(Witt ring)への準同型が存在する。

$\{a_1,\dots ,a_n\}\mapsto ⟨⟨a_1,a_2,...,a_n⟩⟩=⟨1,a_1⟩\otimes ⟨1,a_2⟩\otimes ...\otimes ⟨1,a_n⟩,$

ここに像は、次元 2ⁿ のテンプレート:仮リンク(Pfister form)である。像は Iⁿ/Iⁿ⁺¹ としてとることが可能で、写像はフィスター形式が加法的に Iⁿ を生成するので全射である。ミルナー予想は、これらの写像は同型であるということと解釈することができる。

参考文献

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進んだ文献

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