リーマンのクシー関数

複素平面におけるリーマンのクシー関数 テンプレート:Math. 点 テンプレート:Mvar の色は関数の値を表している。より暗い色は テンプレート:Math により近い値を表し、色相は値の偏角を表す。

数学において、リーマンのクシー関数（リーマンのクシーかんすう、テンプレート:Lang-en-short）はリーマンのゼータ関数の変形で、とりわけ単純な関数等式をもつように定義される。関数はベルンハルト・リーマンに敬意を表して名づけられている。

定義

リーマンのもともとの小文字のクシー関数、テンプレート:Mvar はエトムント・ランダウによって大文字のクシー テンプレート:Math に改名された（下記参照）。ランダウの小文字クシー テンプレート:Mvar は次のように定義される： テンプレート:Math に対して

$\xi (s)=\frac{1}{2}s(s-1){\pi }^{-s/2}\mathrm{\Gamma }\left(\frac{1}{2}s\right)\zeta (s).$

ここで テンプレート:Math はリーマンのゼータ関数を表し、テンプレート:Math はガンマ関数である。クシーの関数等式（あるいは テンプレート:仮リンク）は

$\xi (1-s)=\xi (s)$

である。大文字のクシー テンプレート:Math は Landau (loc. cit., §71) によって

$\mathrm{\Xi }(z)=\xi (\frac{1}{2}+zi)$

と定義され、関数等式

$\mathrm{\Xi }(-z)=\mathrm{\Xi }(z)$

をもつ。Landau (loc. cit., p. 894) によって報告されているようにこの関数 テンプレート:Math はリーマンがもともと テンプレート:Mvar によって表記した関数である。

値

偶数に対する一般式は

$\xi (2n)=(-1{)}^{n+1}\frac{1}{(2n)!}{B}_{2n}{2}^{2n-1}{\pi }^n(2n^2-n)(n-1)!$

である、ただし テンプレート:Mvar は テンプレート:Mvar 番目のベルヌーイ数を表す。例えば

$\xi (2)=\frac{\pi }{6}$

である。

級数表現

クシー関数は級数展開

$\frac{d}{dz}\log \xi \left(\frac{-z}{1-z}\right)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{\lambda }_{n+1}{z}^n$

をもつ、ただし

${\lambda }_n=\frac{1}{(n-1)!}{\frac{d^n}{d{s}^n}[s^{n-1}\log \xi (s)]|}_{s=1}=\sum _{\rho }[1-{(1-\frac{1}{\rho })}^n]$

であり、この和はゼータ関数の非自明な零点 テンプレート:Mvar を テンプレート:Math の順番で渡る。

この展開は テンプレート:仮リンク においてとりわけ重要な役割を果たす。その主張は、リーマン予想はすべての正の テンプレート:Mvar に対して テンプレート:Math であることと同値であるというものである。

アダマール積

単純な無限積展開は

$\mathrm{\Xi }(s)=\mathrm{\Xi }(0)\prod _{\rho }(1-\frac{s}{\rho }),$

ただし テンプレート:Mvar は テンプレート:Mvar の根を走る。

展開の収束を保証するには、積は零点の "matching pairs" 上でとられなければならない、すなわち テンプレート:Mvar と テンプレート:Math の形の零点のペアの因子は一緒にグループされなければならない。

関連項目

• 与えられた数より小さい素数の個数について - クシー関数を導入したリーマンの論文

関連文献

• テンプレート:Mathworld
• テンプレート:Cite journal