与えられた数より小さい素数の個数について

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『ベルリン学士院月報』（1859年11月号）に掲載された論文。

『与えられた数より小さい素数の個数について』（あたえられたすうよりちいさいそすうのこすうについて[1]、ドイツ語の原題: テンプレート:Lang, 英語での定訳: テンプレート:Lang）は、19世紀のドイツの数学者であるベルンハルト・リーマンが1859年に発表した論文である。同年の学術誌『ベルリン学士院月報』(テンプレート:Lang) 上に掲載された。解析学や幾何学の分野における業績が多かったリーマンが数論の分野で唯一発表した論文であり、わずか9ページしかなかったが、数々の画期的な内容を含み、後世に甚大な影響を及ぼした。特に解析的整数論においては、本論文は同分野の基本文献とされている。内容的には、この論文はあるべき大論文の要約版・研究速報と見なすことができたが、リーマン自身は7年後の1866年に39歳で没したため、本論文の詳細版が出版されることはついになかった。もし詳細版が出版されていれば、関連分野の研究は70年は短縮されただろうという指摘がある[2][3][4]。

本論文には6個の予想が含まれていたが、リーマン没後、うち5つまでは後の数学者達によって証明が与えられた。最後に残されたのがリーマン予想であり、これは数論における最も重要な未解決問題の一つとされている。

この論文の影響はあまりに大きかったため、例えば複素数の表記方法として普通は テンプレート:Math（特に テンプレート:Math）と書くところを、リーマンゼータ関数の非自明な零点を論じる場合に限っては、本論文にちなんで テンプレート:Math と書く慣習がある[注 1]。また、「リーマンのゼータ関数」という名称も、元々オイラーが導入した関数であるにもかかわらず、本論文でリーマンが記号 テンプレート:Math を用いて記述したことから以後定着した。

導入された新定義

記載された証明又は証明のあらまし

提起された予想

導入された新たな技法等

リーマンはまた関数 テンプレート:Math を本質的にスティルチェス積分の尺度として用い、テンプレート:Math と素数分布との関連を論じた。そして テンプレート:Math との比較を通じて、論文の主結果として テンプレート:Math を定式化した。リーマンは更に進んで、一部に困難が残ることを認めつつ、素数の数を与える関数 テンプレート:Math の近似公式の導出を試みた。素数分布をある程度正確に記述する素数定理は、後の1896年にテンプレート:仮リンクとアダマールによって独立に示された。もしリーマン予想が証明されれば、さらに精密な素数分布が導かれることが知られている。

日本語訳

  • 杉浦光夫訳「与えられた限界以下の素数の個数について」（リーマン(2004)、155–162頁）
  • 鈴木治郎訳「与えられた数より小さな素数の個数について」（エドワーズ(2012)、314–321頁[5]）
  • 平林幹人訳「与えられた数より小さい素数の個数について」（鹿野(1991)、17–28頁）

注釈

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出典

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参考文献

関連項目

外部リンク

  1. ↑ 訳は右記文献の平林幹人による。（鹿野(1991)、17–28頁）
  2. ↑ テンプレート:Harvnb
  3. ↑ テンプレート:Harvnb
  4. ↑ テンプレート:Harvnb
  5. ↑ テンプレート:Cite web


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