エネルギー・運動量テンソル

テンプレート:出典の明記 エネルギー・運動量テンソル（エネルギー・うんどうりょうテンソル、テンプレート:Lang-en、テンプレート:En、テンプレート:En）とは、質量密度、エネルギー密度、エネルギー流、運動量密度、応力を相対性理論に基づいた形式で記述した物理量である。

一般相対性理論において、アインシュタイン方程式の物質分布を示す項として登場し、重力を生じさせる源（テンプレート:En）としての意味を持つ。

エネルギー・運動量テンソルは二階のテンソルであり、記号は $T^{\mu \nu }$ で表されることが多い。アインシュタイン方程式で、真空の状況を考える時は、$T^{\mu \nu }=0$ とすればよい。

エネルギー・運動量テンソル $T^{\mu \nu }$ は、定義から明らかに対称テンソルである。

以下では、時間座標を0成分とし、空間座標を1,2,3成分とする添字を使い、計量(metric)の符号は$(-,+,+,+)$とする。また、アインシュタインの縮約記法を用いる。

共変微分をもちいて

$T^{\mu \nu }{}_{;\mu }=0$

とすれば、これは、共変形式のエネルギー・運動量保存則を表すことになる。

定義

エネルギー・運動量テンソルはネーターの定理により、時空の並進対称性のネーター・カレントとして定められる。

作用積分が

$S[\varphi ]=\int {\mathrm{d}}^{4}xℒ(\varphi ,\partial \varphi )$

と書かれているとき、時空の微小な併進 x → x' = x + ξ に対して、φ'(x')=φ(x) が成り立つ。

従って、場は

${\delta }_{\xi }\varphi (x)={\varphi }^{\prime }(x)-\varphi (x)=\varphi (x-\xi )-\varphi (x)=-{\xi }^{\mu }{\partial }_{\mu }\varphi (x)$

と変換される。

エネルギー・運動量テンソルは

• $T_{\mu }^{\nu }:=\frac{\partial ℒ}{\partial ({\partial }_{\nu }\varphi )}{\partial }_{\mu }\varphi -{\delta }_{\mu }^{\nu }ℒ$

となる。この定義には任意性があり、$h_{\mu }{}^{\nu \rho }=-h_{\mu }{}^{\rho \nu }$ により テンプレート:Indent で置き換えることができる。この任意性によりエネルギー・運動量テンソルは対称テンソルとして定義される。

別の定義の仕方として、時空の計量による汎関数微分として定義する方法がある。この方法では対称であることが定義により明確となる。 一般相対性理論においては時空の計量 テンプレート:Mvar が力学変数となる。作用汎関数が テンプレート:Indent で書かれているとき、計量 テンプレート:Mvar による作用の汎関数微分は テンプレート:Indent である。従って、エネルギー運動量テンソルは テンプレート:Indent で与えられる。

各成分の意味

応力エネルギーテンソル

• 時間-時間成分、即ち $T^{00}$ は、エネルギー密度である。
• 時間-空間成分、即ち $T^{0j}$ は、$x^j$の方向へのエネルギーの流れである。
• 空間-時間成分、即ち $T^{i0}$ は、i-成分の運動量密度である。
• 空間成分、即ち $T^{ij}$ は、$x^j$の方向への i-成分の運動量の流れである。

相対論的粒子

相対論的粒子の系を記述する作用汎関数は テンプレート:Indent であり、ここからエネルギー・運動量テンソルが テンプレート:Indent と導かれる。補助変数 テンプレート:Mvar から導かれる拘束条件 $\gamma =\frac{1}{m_i}\frac{\mathrm{d}{\tau }_i}{\mathrm{d}\lambda }$ を用いれば テンプレート:Indent となる。

完全流体近似のエネルギー・運動量テンソル

物質の平均自由行程が全体のスケールに比べて短いとき、流体近似が可能である。さらに、流体の静止系に乗ったときに、圧力が等方的であり（応力テンソルが対角的であり）、粘性のない場合、完全流体として考えることができる。このとき、一般に次のように仮定することができる。

$T^{\mu \nu }=(\rho +p)u^{\mu }{u}^{\nu }+g^{\mu \nu }p$

$\rho ,p$ は、静止系で観測したときの質量エネルギー密度と圧力であり、 $g^{\mu \nu },u^{\mu }$ は、計量テンソル・流体の4元速度ベクトル（共動座標系ならば、$u^{\mu }=(1,0,0,0)$、流体速度を$v^i$ と観測する場合には$u^{\mu }=(1,v^i)$）である。この仮定は、宇宙モデルを論じるときに通常用いられる。

非相対論的な場合、$g_{\mu \nu }\approx {\eta }_{\mu \nu },|v^i|\ll 1,p\ll \rho$となるから、行列形式で成分を書くと

$T^{\mu \nu }=\left(\begin{array}{cccc}\rho & \rho v_x& \rho v_y& \rho v_z\\ \rho v_x& p+\rho v_x^2& \rho v_x{v}_y& \rho v_x{v}_z\\ \rho v_y& \rho v_x{v}_y& p+\rho v_y^2& \rho v_y{v}_z\\ \rho v_z& \rho v_x{v}_z& \rho v_y{v}_z& p+\rho v_z^2\end{array}\right)$

となる。この空間成分は、古典的流体力学の応力テンソル

${\pi }^{ij}=\rho v^i{v}^j+p{\delta }^{ij}$

と一致する。

電磁場のエネルギー・運動量テンソル

電磁場を記述する系の力学変数は電磁ポテンシャル テンプレート:Mvar であり、一般化速度に相当する力学変数の微分は電磁場強度 テンプレート:Mvar である。時空の計量 テンプレート:Mvar を露わに書いた電磁場のラグランジュ関数は テンプレート:Indent である。このラグランジュ関数から得られる電磁場のエネルギー・運動量テンソルは テンプレート:Indent となる。 テンプレート:Math は電磁場のエネルギー密度、テンプレート:Math はポインティング・ベクトル、テンプレート:Mvar はマクスウェルの応力テンソルである。

関連項目

• 一般相対性理論 - アインシュタイン方程式