カノニカル相関

テンプレート:Machine learning bar 統計力学において、カノニカル相関（カノニカルそうかん、テンプレート:Lang-en-short）とは以下のような関数 $⟨; ⟩_{e q}$ のことをいう。

⟨ \hat{X}; \hat{Y} ⟩_{e q} = \frac{1}{β} \int_{0}^{β} ⟨ e^{λ {\hat{H}}_{0}} \hat{X} e^{- λ {\hat{H}}_{0}} \hat{Y} ⟩ d λ = \frac{1}{β} \frac{Tr [e^{- β {\hat{H}}_{0}} \int_{0}^{β} e^{λ {\hat{H}}_{0}} \hat{X} e^{- λ {\hat{H}}_{0}} \hat{Y} d λ]}{Tr [e^{- β {\hat{H}}_{0}}]}

ここで $⟨ ⟩$ はカノニカル分布による平均を表す。外力に対する熱平衡系の線形応答、および熱平衡近傍での線形不可逆過程の量子統計力学において基本的役割を果たす。

性質

⟨ \hat{X}; \hat{Y} ⟩_{e q} = ⟨ \hat{Y}; \hat{X} ⟩_{e q}

β ⟨ \dot{\hat{X}}; \hat{Y} ⟩_{e q} = \frac{1}{i ℏ} ⟨ [\hat{X}, \hat{Y}] ⟩

⟨ \hat{X}; \hat{Y} ⟩_{e q} = ⟨ \hat{X} \hat{Y} ⟩

となり、これは相関関数である。よってカノニカル相関はこれを量子論の場合に拡張したものに他ならない。

Λ_{X, Y} (ω) = \frac{1 - e^{- β ℏ ω}}{β ℏ ω} C_{X Y} (ω)