クロネッカーの極限公式

数学において、古典的なテンプレート:読み仮名 ruby不使用は、デデキントのエータ函数によって実解析的アイゼンシュタイン級数（もしくは、エプシュタインのゼータ函数）の テンプレート:Math での定数項を記述する。命名はレオポルト・クロネッカーにちなんでいる。クロネッカーの極限公式には、より込み入ったアイゼンシュタイン級数へ多くの一般化がある。またGoldsteinによって任意の代数体に一般化されている。

クロネッカーの第一極限公式

クロネッカーの第一極限公式は、

$E(\tau ,s)=\frac{\pi }{s-1}+2\pi (\gamma -\log (2)-\log (\sqrt{y}|\eta (\tau ){|}^2))+O(s-1)$

である。ここに、

• テンプレート:Math は、テンプレート:Math に対して
  テンプレート:Pad$E(\tau ,s)=\sum _{(m,n)\ne (0,0)}\frac{y^s}{|m\tau +n{|}^{2s}}$
  で与えられ、解析接続によって他の複素数 テンプレート:Mvar に対しても与えられる。
• テンプレート:Mvar はオイラー・マスケローニ定数である。
• テンプレート:Math で テンプレート:Math とする。
• $q=e^{2\pi i\tau }$ として $\eta (\tau )=q^{1/24}\prod _{n\ge 1}(1-q^n)$ はデデキントのエータ函数である。

従って、アイゼンシュタイン級数は テンプレート:Math で留数 テンプレート:Mvar の極を持ち、クロネッカーの第一極限公式は、この極でのローラン級数の定数項を与える。

クロネッカーの第二極限公式

クロネッカーの第二極限公式は、

$E_{u,v}(\tau ,1)=-2\pi \log |f(u-v\tau ;\tau )q^{v^2/2}|$

である。ここに、

• テンプレート:Mvar と テンプレート:Mvar は実数で、ともに整数であることはない。
• テンプレート:Math かつ テンプレート:Math
• テンプレート:Math かつ テンプレート:Math
• テンプレート:Math に対し
  テンプレート:Pad$E_{u,v}(\tau ,s)=\sum _{(m,n)\ne (0,0)}{e}^{2\pi i(mu+n\tau )}\frac{y^s}{|m\tau +n{|}^{2s}}$
  で、他の複素数 テンプレート:Mvar に対しては解析接続によって定義される。
• $f(z,\tau )=q^{1/12}(p^{1/2}-p^{-1/2})\prod _{n\ge 1}(1-q^{n}p)(1-q^n/p)$

応用

クロネッカーの極限公式を使って虚二次体 テンプレート:Mvar の[[ヘッケのL-函数|ヘッケ テンプレート:Mvar 函数]]の テンプレート:Math での値を計算することができるテンプレート:Sfnm。

簡単のため、テンプレート:Mvar を テンプレート:Mvar のイデアル類群の自明でない指標として、これに対するヘッケ テンプレート:Mvar 函数 テンプレート:Math の場合を考える。この テンプレート:Mvar 函数は、定義より次のように部分 テンプレート:Mvar 函数の和に分解できる。

$L(s,\chi )=\sum _A\chi (A)\zeta (s,A)$

ここで テンプレート:Mvar は テンプレート:Mvar のイデアル類（イデアル類群の元）をすべて渡り、テンプレート:Mvar は テンプレート:Math で定義される部分 テンプレート:Mvar 函数である。今イデアル類 テンプレート:Math に含まれるイデアル テンプレート:Math を一つ固定する。テンプレート:Mvar に含まれる任意のイデアル テンプレート:Math に テンプレート:Math をかけると単項イデアルになるので、テンプレート:Math となる テンプレート:Math の元 テンプレート:Math が単数倍を除き一意に定まる。逆に テンプレート:Math の元 テンプレート:Math があると テンプレート:Math となる テンプレート:Mvar に属するイデアル テンプレート:Math が定まるので、テンプレート:Mvar を テンプレート:Mvar に含まれる単数（有限個）の個数とすると、テンプレート:Mvar のイデアルと テンプレート:Math のゼロではない元の間に1対 テンプレート:Mvar の対応が定まる。テンプレート:Math の元 テンプレート:Mvar は、テンプレート:Math の一つの底を テンプレート:Math とすると整数 テンプレート:Math を用いて テンプレート:Math と表せる。底は、必要であれば順序を変えて、テンプレート:Math と置いたとき テンプレート:Math となるように取っておく。また テンプレート:Mvar を テンプレート:Mvar の判別式とする。以上のことを使って部分 テンプレート:Mvar 函数を変形すると

$\zeta (s,A)=\frac{1}{w}{\left(\frac{2}{\sqrt{d}}\right)}^s\sum _{(m,n)\ne (0,0)}\frac{y^s}{|m+n\tau {|}^{2s}}=\frac{1}{w}{\left(\frac{2}{\sqrt{d}}\right)}^{s}E(\tau ,s)$

と表せることがわかるテンプレート:Efn。こうして出てきた テンプレート:Math に第一極限公式を適用し テンプレート:Math を計算する。テンプレート:Math の項は テンプレート:Mvar が非自明であることにより テンプレート:Math だから消える。定数項のうち、オイラー・マスケローニ定数の項や テンプレート:Math の項も同様の理由で消える。よって定数項には テンプレート:Math の項だけが残るので、テンプレート:Math と置くと（これは類 テンプレート:Mvar のみから定まる）、テンプレート:Math の テンプレート:Math での値は

$L(1,\chi )=-\frac{4\pi }{w\sqrt{d}}\sum _A\chi (A)\log F(A)$

と表せることがわかるテンプレート:Efn。

これと類数公式をあわせることで虚二次体のヒルベルト類体の類数を計算することができるテンプレート:Sfn。また第二極限公式を使うことでテンプレート:仮リンクの場合にも同様の計算を行うことができるテンプレート:Sfn。虚二次体のアーベル拡大に対する類数公式を得るためにクロネッカーの極限公式を使うことは1910年にFueterによってなされていた。

参考文献

• テンプレート:Cite book
• テンプレート:Cite book
• テンプレート:Cite journal

関連項目

• テンプレート:仮リンク(Herglotz–Zagier function)