グラム・シュミットの正規直交化法

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グラム・シュミットの正規直交化法（グラム・シュミットのせいきちょっこうかほう、テンプレート:Lang-en-short）とは、計量ベクトル空間に属する線型独立な有限個のベクトルが与えられたとき、それらと同じ部分空間を張る正規直交系を作り出すアルゴリズムの一種テンプレート:Sfn。シュミットの直交化（ちょっこうか、テンプレート:Lang）ともいう。ヨルゲン・ペダーセン・グラムおよびエルハルト・シュミットに因んで名付けられた。変換行列は上三角行列に取ることができる。正規化する工程を省略すると、必ずしも正規でない直交系を得ることができる。

アルゴリズム

V を計量ベクトル空間とし、テンプレート:Mvar のベクトル v, u の内積を (v, u) と表すことにする。与えられたベクトルの線型独立系をテンプレート:Math2 とする。

直交化: $\begin{matrix} 𝒖_{1} & : = 𝒗_{1} \\ 𝒖_{2} & : = 𝒗_{2} - \frac{(𝒖_{1}, 𝒗_{2})}{(𝒖_{1}, 𝒖_{1})} 𝒖_{1} \\ 𝒖_{3} & : = 𝒗_{3} - \frac{(𝒖_{1}, 𝒗_{3})}{(𝒖_{1}, 𝒖_{1})} 𝒖_{1} - \frac{(𝒖_{2}, 𝒗_{3})}{(𝒖_{2}, 𝒖_{2})} 𝒖_{2} \\ ⋮ \\ 𝒖_{n} & : = 𝒗_{n} - \frac{(𝒖_{1}, 𝒗_{n})}{(𝒖_{1}, 𝒖_{1})} 𝒖_{1} - \frac{(𝒖_{2}, 𝒗_{n})}{(𝒖_{2}, 𝒖_{2})} 𝒖_{2} - \dots - \frac{(𝒖_{n - 1}, 𝒗_{n})}{(𝒖_{n - 1}, 𝒖_{n - 1})} 𝒖_{n - 1} \\ : = 𝒗_{n} - \sum_{i = 1}^{n - 1} \frac{(𝒖_{i}, 𝒗_{n})}{(𝒖_{i}, 𝒖_{i})} 𝒖_{i} \end{matrix}$

によって順に新しいベクトルを作っていくと、テンプレート:Math2 は新しい線型独立系になる。構成から、互いに直交していることは容易に分かる。

正規化: $𝒆_{i} : = \frac{𝒖_{i}}{(𝒖_{i}, 𝒖_{i})^{1 / 2}}$

とおけばテンプレート:Math2 が求める性質を満たす正規直交系であることが分かる。

脚注

テンプレート:脚注ヘルプテンプレート:Reflist

参考文献

テンプレート:Cite book

関連項目

外部リンク

テンプレート:高校数学の美しい物語

テンプレート:線形代数

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