ケイリーの定理

テンプレート:For 群論におけるケイリーの定理（ケイリーのていり、Cayley's theorem）とは、すべての群 テンプレート:Mvar は対称群の部分群に同型であるとする定理である。アーサー・ケイリーにちなんで名付けられた。より具体的には、テンプレート:Mvar は対称群 テンプレート:Math （その元が テンプレート:Mvar の集合の置換である群）の部分群と同型である。明示的に表すと

• 各 テンプレート:Math について定義される、テンプレート:Math をその左から テンプレート:Mvar を掛けた テンプレート:Math に移す写像 テンプレート:Math は テンプレート:Mvar の置換である。
• テンプレート:Math を テンプレート:Mvar に移す写像 テンプレート:Math は単射準同型なので、テンプレート:Mvar から テンプレート:Math の部分群への同型写像を定義する。

準同型写像 テンプレート:Math は集合 テンプレート:Mvar に対する テンプレート:Mvar の左並進作用から生じるものとしても理解できる。

テンプレート:Mvar が有限のとき テンプレート:Math も有限である。この場合のケイリーの定理の証明は、テンプレート:Mvar が テンプレート:Mvar 次の有限群であれば テンプレート:Mvar は標準的な対称群 テンプレート:Mvar の部分群と同型であることから示される。しかし、テンプレート:Mvar はより小さな対称群 テンプレート:Math の部分群と同型である可能性もある。例えば、位数 6 の群 テンプレート:Math は テンプレート:Math の部分群と同型であるだけでなく、（自明に）テンプレート:Math の部分群とも同型である。与えられた群 テンプレート:Mvar が埋め込まれる最小次数対称群を見つける問題はかなり難しい。

アルペリンとベルは、「一般に有限群が対称群に埋め込まれているという事実は、有限群を研究するために使用される方法に影響を与えていない」と指摘している。

テンプレート:Mvar が無限大のときは テンプレート:Math も無限大であるが、ケイリーの定理は依然として適用可能である。

歴史

十分に初歩的なように思えるが、当時は現代的な定義は存在せず、ケイリーが現在「群」と呼ばれているものを導入したとき、これが既に「置換群」と呼ばれている既知の群と同等であることがすぐには分からなかった。ケイリーの定理はこの 2 つを統合する。

バーンサイドはこの定理をジョルダンに帰属させているが、エリック・ヌメラはそれでもなお標準的な「ケイリーの定理」という名称が実際は適切であると主張している。ケイリーは1854年のオリジナルの論文で定理中の対応が1対1であることを示したが、それが準同型（つまり埋め込み）であることを明示的に示すことはできなかった。しかしヌメラは、ケイリーがこの結果を当時の数学界に報告していたため、ジョルダンより16年ほど先行していたと指摘している。

この定理は後に1882年にヴァルター・ダイクによって出版され、バーンサイドの本の初版ではダイクの著作とされている。

背景

集合 テンプレート:Mvar の置換とは テンプレート:Mvar から テンプレート:Mvar への全単射関数である。テンプレート:Mvar のすべての置換の集合は写像の合成のもとで群をなし、テンプレート:Mvar 上の対称群と呼ばれ、テンプレート:Math と書かれる。 特に テンプレート:Mvar を群 テンプレート:Mvar の台集合とすると、テンプレート:Math と表記される対称群が生成される。

証明

テンプレート:Mvar を演算 テンプレート:Math を持つ群 テンプレート:Mvar の元であるとし、 テンプレート:Math で定義される関数 テンプレート:Math を考える。逆元の存在からこの関数は逆関数 テンプレート:Math をもつ。よって テンプレート:Mvar による乗算は全単射関数とみなせる。したがって テンプレート:Mvar は テンプレート:Mvar の置換であり、テンプレート:Math の元でもある。

集合 テンプレート:Math} は テンプレート:Mvar と同型な テンプレート:Math の部分群である。これを証明する最も早い方法は任意の テンプレート:Math に対して テンプレート:Math となる関数 テンプレート:Math を考えることである。テンプレート:Mvar は群準同型である。なぜなら任意の テンプレート:Math について

$(f_g\cdot f_h)(x)=f_g(f_h(x))=f_g(h*x)=g*(h*x)=(g*h)*x=f_{g*h}(x)$

（ここで テンプレート:Math は テンプレート:Math の合成を表す）、したがって

$T(g)\cdot T(h)=f_g\cdot f_h=f_{g*h}=T(g*h).$

準同型写像 テンプレート:Mvar は単射である。なぜなら テンプレート:Math（テンプレート:Math の単位元）よりのすべての テンプレート:Math に対して テンプレート:Math が成り立ち、テンプレート:Mvar を テンプレート:Mvar の単位元 テンプレート:Mvar とすると テンプレート:Math となり、つまり核は自明であるため。あるいは テンプレート:Math から テンプレート:Math となるため テンプレート:Mvar は単射である（すべての群は簡約的であるため）。

したがって テンプレート:Mvar は テンプレート:Mvar の像、つまり部分群 テンプレート:Mvar と同型である。

テンプレート:Mvar は テンプレート:Mvar の正則表現と呼ばれることもある。

別証

群作用の言語を使用して別の証明を与えることもできる。群 テンプレート:Mvar が左乗法によって自身に作用するものと考える。つまり テンプレート:Math。これは置換表現 テンプレート:Math を持つ。

表現が忠実とは、テンプレート:Mvar が単射、つまり テンプレート:Mvar の核が自明であることである。テンプレート:Mathとすると、テンプレート:Math。よって テンプレート:Math は自明である。この結果は第一同型定理を用いることで得られ、ここから テンプレート:Math が得られる。

通常の群表現に関する注記

群の単位元は恒等置換に対応する。群の他の元はすべて完全順列（どの元ももとの位置に留まらない置換）に対応する。これは群の各元のべき乗にも当てはまるため、その元の位数より小さい場合、各元はすべて同じ長さのサイクルからなる順列に対応する。その長さはその元の位数である。各サイクル内の元は、元によって生成される部分群の右剰余類を成す。

通常の群表現の例

2 を法とする加算のもとでの ${\mathbb{Z}}_2=\{0,1\}$; 元 0 は恒等置換 テンプレート:Mvar に対応し、元 1 は置換 (12) に対応する（サイクル表記を参照）。たとえば 0 + 1 = 1 また 1 + 1 = 0 より、置換の場合と同様に $1\mapsto 0$ また $0\mapsto 1$ となる。

3 を法とする加算のもとでの ${\mathbb{Z}}_3=\{0,1,2\}$; 元 0 は恒等置換 テンプレート:Mvar に対応し、元 1 は置換 (123) に対応し、そして元 2 は置換 (132) に対応する。たとえば 1 + 1 = 2 は (123)(123) = (132) に対応する。

4 を法とする加算のもとでの ${\mathbb{Z}}_4=\{0,1,2,3\}$; 各元は テンプレート:Mvar、(1234)、(13)(24)、(1432)に対応する。

クラインの四元群の元 テンプレート:Math} は テンプレート:Mvar、 (12)(34)、(13)(24)、(14)(23)に対応する。

テンプレート:Math（位数 6 の二面体群）は3 つのオブジェクトの置換すべての群であるが、6 つの元の置換群でもある。後者は通常の表現によって実現される方法である。

*	e	a	b	c	d	f	置換
e	e	a	b	c	d	f	e
a	a	e	d	f	b	c	(12)(35)(46)
b	b	f	e	d	c	a	(13)(26)(45)
c	c	d	f	e	a	b	(14)(25)(36)
d	d	c	a	b	f	e	(156)(243)
f	f	b	c	a	e	d	(165)(234)

一般化

定理: テンプレート:Mvar を群、テンプレート:Mvar を部分群とする。テンプレート:Math を テンプレート:Mvar における テンプレート:Mvar の左剰余類の集合とする。テンプレート:Mvar を テンプレート:Mvar における テンプレート:Mvar の正規核とし、これは テンプレート:Mvar における テンプレート:Mvar の共役の共通部分として定義される。すると商群 テンプレート:Math は テンプレート:Math の部分群と同型である。

テンプレート:Math のケースがオリジナルのケイリーの定理である。

参考文献

• テンプレート:Citation.

関連項目

• en:Wagner–Preston theorem - 逆半群の類似物である
• en:Birkhoff's representation theorem - en:order theoryにおける同様の結果
• en:Frucht's theorem - すべての有限群はグラフの自己同型群である
• 米田の補題 - 圏論におけるケーリーの定理の一般化
• en:Representation theorem