ケイリー＝アロンホルトの微分作用素

数学において、ケイリー＝アロンホルトの微分作用素（ケイリー＝アロンホルトのびぶんさようそ)は、多項式環上で定義される三つの微分作用素である。作用素の名は19世紀のイギリスの数学者アーサー・ケイリーとドイツの数学者テンプレート:仮リンクに因む。二次の特殊線形リー環の表現を与えており、古典的不変式論において、基本的な役割を果たす。

定義

$ξ = (ξ_{0}, ξ_{1}, \dots, ξ_{n})$ を不定元とし、標数0の体 K を係数とする多項式に対し、

ℋ = \sum_{l = 0}^{n} (n - 2 l) ξ_{l} \frac{\partial}{\partial ξ_{l}}

𝒟 = \sum_{l = 0}^{n} l ξ_{l - 1} \frac{\partial}{\partial ξ_{l}}

Δ = \sum_{l = 0}^{n} (n - l) ξ_{l + 1} \frac{\partial}{\partial ξ_{l}}

で定義される、多項式環 $K [ξ]$ 上の微分 $ℋ, 𝒟, Δ$ をケイリー＝アロンホルトの微分作用素という。

単項式 $φ = ξ_{0}^{m_{0}} \dots ξ_{n}^{m_{n}}$ に対し、その次数 $\deg φ$ 、重さ $weight φ$ は、

\deg φ = \sum_{l = 0}^{n} m_{l}

weight φ = \sum_{l = 0}^{n} l \cdot m_{l}

で定義される。

$ℋ, 𝒟, Δ$ の作用で次数 $\deg φ$ は不変であるが、重さ $weight φ$ については、

weight ℋ φ = weight φ

weight 𝒟 φ = weight φ - 1

weight Δ φ = weight φ + 1

が成り立つ。

全ての項の次数が等しい多項式を同次多項式、全ての項の重さが等しい多項式を同重多項式という。同次同重多項式 $ϕ (ξ) \in K [ξ]$ に対し、その指数 $ind ϕ$ を

ind ϕ = n \deg ϕ - 2 weight ϕ

で定めると

ℋ ϕ (ξ) = ind ϕ \cdot ϕ (ξ)

が成り立つ。

交換子積を $[X, Y] = X Y - Y X$ で定めると、 $ℋ, 𝒟, Δ$ 同士の交換子は、

[𝒟, Δ] = ℋ, [ℋ, 𝒟] = 2 𝒟, [ℋ, Δ] = - 2 Δ

の関係を満たす。

これは二次特殊線形リー環 $𝔰 𝔩 (2)$ の基底

H = (\begin{matrix} - 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}), X = (\begin{matrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{matrix}), Y = (\begin{matrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{matrix})

が満たす関係

[X, Y] = H, [H, X] = 2 X, [H, Y] = - 2 Y

に対応している。

そこで、 $ρ : 𝔰 𝔩 (2) \to 𝔤 𝔩 (K [ξ])$ を対応関係

λ H + μ X + ν Y \to λ ℋ + μ 𝒟 + ν Δ (λ, μ, ν \in K)

で与えれば、 $ρ$ は $K [ξ]$ を表現空間とする $𝔰 𝔩 (2)$ のリー代数の表現となる。