サバテサイクル

サバテサイクル(Sabathe cycle)は、中・高速の圧縮着火機関（ディーゼルエンジン・焼玉エンジン）の理論サイクル(空気標準サイクル)であり、複合サイクルとよばれることもある ^[1] ^[2]。実際のディーゼルエンジンでは燃料噴射後、着火するまでに着火遅れがあり、この間に噴射された燃料はシリンダー内に燃料・空気の混合気を形成する。これに着火すると短期間で燃焼し(予混合燃焼)、等積に近い燃焼となり、低速機関でない限り、これを無視することはできない。その後、続いて噴射される燃料が空気と混合しつつ順次燃焼し(拡散燃焼)、等圧に近い燃焼となる。この等積燃焼と等圧燃焼の双方を考慮したものが、サバテサイクルである。

サイクル

サバテサイクルは、圧縮着火機関の実際のサイクルを、下表 1 のような比熱一定の理想気体(空気)の可逆なクローズドサイクル (空気標準サイクル)で置き換えたものと考えることができる ^[1] ^[2]。

表 1 サイクルの置き換え
	実機関の状態変化	置換後の状態変化	備考
1 → 2	空気の圧縮	断熱(等エントロピー)圧縮
2 → 3	予混合燃焼	等積加熱	この間のピストン移動を無視
3 → 4	拡散燃焼	等圧加熱膨張	噴射の間もピストンは移動
4 → 5	噴射締切・燃焼ガスの膨張	断熱(等エントロピー)膨張
5 → 1	排気・吸気(または掃気)	等積冷却	この間のピストン移動を無視

図 1. サバテサイクルの p-V 線図
図 2. サバテサイクルの T-S 線図

サバテサイクルのp-V 線図および T-S 線図を図 1、2 に示す。また、吸気状態を V₁、p₁、T₁、S₁ としたときの、サイクル上の各点の状態量を下表 2 に示す。

表 2 サイクル各点の状態量
	体積	圧力	絶対温度	エントロピー
1	$V_{1}$	$p_{1}$	$T_{1}$	$S_{1}$
1→2		$p = p_{1} {(\frac{V_{1}}{V})}^{κ}$	$T = T_{1} {(\frac{V_{1}}{V})}^{κ - 1}$	$S = S_{1}$
2	$V_{2} = V_{1} / ϵ$	$p_{2} = p_{1} ϵ^{κ}$	$T_{2} = T_{1} ϵ^{κ - 1}$	$S_{2} = S_{1}$
2→3	$V = V_{2}$		$T = T_{2} \frac{p}{p_{2}}$	$S = S_{2} + m c_{v} \ln \frac{T}{T_{2}}$
3	$V_{3} = V_{1} / ϵ$	$p_{3} = p_{1} α ϵ^{κ}$	$T_{3} = T_{1} α ϵ^{κ - 1}$	$S_{3} = S_{1} + m c_{v} \ln α$
3→4		$p = p_{3}$	$T = T_{3} \frac{V}{V_{3}}$	$S = S_{3} + m c_{p} \ln \frac{T}{T_{3}}$
4	$V_{4} = V_{1} σ / ϵ$	$p_{4} = p_{1} α ϵ^{κ}$	$T_{4} = T_{1} α σ ϵ^{κ - 1}$	$S_{4} = S_{1} + m c_{v} \ln α + m c_{p} \ln σ$
4→5		$p = p_{4} {(\frac{V_{4}}{V})}^{κ}$	$T = T_{4} {(\frac{V_{4}}{V})}^{κ - 1}$	$S = S_{4}$
5	$V_{5} = V_{1}$	$p_{5} = p_{1} α σ^{κ}$	$T_{5} = T_{1} α σ^{κ}$	$S_{5} = S_{1} + m c_{v} \ln α + m c_{p} \ln σ$
5→1	$V = V_{5}$		$T = T_{5} \frac{p}{p_{5}}$	$S = S_{5} + m c_{v} \ln \frac{T}{T_{5}}$
$ϵ = \frac{V_{1}}{V_{2}}$ ：圧縮比、 $α = \frac{p_{3}}{p_{2}}$ ：圧力(上昇)比、 $σ = \frac{V_{4}}{V_{2}}$ ：噴射締切比、 $κ = \frac{c_{p}}{c_{v}} = 1.40$ ：比熱比、 $m$ ：質量、 $c_{p}$ ：定圧比熱、 $c_{v}$ ：定積比熱

熱量、仕事、熱効率

上で求めた各点の状態量を用いて、1 サイクルあたりの加熱量、冷却量、仕事、および熱効率、平均有効圧力は下記のように求まる。

シリンダー内空気質量： $m = \frac{P_{1} V_{1}}{R T_{1}}, R = c_{p} - c_{v} = 287.2 J / (k g K)$
加熱量： $Q_{1} = m c_{v} (T_{3} - T_{2}) + m c_{p} (T_{4} - T_{3}) = m c_{v} T_{1} [α - 1 + κ α (σ - 1)] ϵ^{κ - 1}$
冷却量： $Q_{2} = m c_{v} (T_{5} - T_{1}) = m c_{v} T_{1} (α σ^{κ} - 1)$
仕事： $W = Q_{1} - Q_{2} = m c_{v} T_{1} {[α - 1 + κ α (σ - 1)] ϵ^{κ - 1} - (α σ^{κ} - 1)}$
熱効率： $η = 1 - \frac{Q_{2}}{Q_{1}} = 1 - \frac{1}{ϵ^{κ - 1}} \frac{(α σ^{κ} - 1)}{[α - 1 + κ α (σ - 1)]}$
平均有効圧力： $p_{m} = \frac{W}{V_{1} - V_{2}} = p_{1} \frac{[α - 1 + κ α (σ - 1)] ϵ^{κ} - (α σ^{κ} - 1) ϵ}{(κ - 1) (ϵ - 1)}$

この結果より、以下のことがわかる。

圧縮比 ε を大きく(高く)すれば熱効率が大きく向上する。
このサイクルは、噴射締切比 σ が小さくなれば (1 に近づけば) オットーサイクルに近づき、圧力比 α が小さくなれば (1 に近づけば) ディーゼルサイクルに近づく。
オットーサイクル(σ=1)とディーゼルサイクル(α=1)を比較すると、圧縮比 ε が等しければ、オットーサイクルの方が熱効率が良いが、最高温度 T₄ が等しければ、（図 2 で点 3 が左方へ移動する方が平均加熱温度が高くなるので、)ディーゼルサイクルの方が熱効率が良い。実際はディーゼルエンジンの方が圧縮比が格段に高く、最高温度も高いので、理論サイクルの面でもディーゼルエンジンの方が熱効率が良い。

参考文献

↑ ^1.0 ^1.1 柘植盛男、『機械熱力学』、朝倉書店(1967)
↑ ^2.0 ^2.1 谷下市松、『工学基礎熱力学』、裳華房(1971)、ISBN 4-7853-6008-9.

サバテサイクル

目次

サイクル

熱量、仕事、熱効率

参考文献

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