ハイゼンベルクの運動方程式

ハイゼンベルクの運動方程式（テンプレート:Lang-en-short）は、量子力学をハイゼンベルク描像によって記述する場合の、オブザーバブルの時間発展についての基礎方程式である。

今日、この式に対してハイゼンベルクの名前が用いられることが多いが、歴史的にはこの方程式を与えたのはハイゼンベルクではなく1925年のボルンとヨルダンであり、また同年にディラックも独立にこの式を提出した。この方程式がシュレーディンガー描像におけるシュレーディンガー方程式と数学的に等価であることは、エルヴィン・シュレーディンガーとポール・ディラックによって独立に証明された。

ハイゼンベルクの運動方程式

ハイゼンベルク描像での物理量（オブザーバブル）${\hat{A}}_{\mathrm{H}}(t)$ 、ハミルトニアン${\hat{H}}_{\mathrm{H}}(t)$による以下の式をハイゼンベルクの運動方程式と言う。

$i\hslash \frac{\mathrm{d}{\hat{A}}_{\mathrm{H}}(t)}{\mathrm{d}t}=[{\hat{A}}_{\mathrm{H}}(t),{\hat{H}}_{\mathrm{H}}(t)]$

この方程式はハミルトン力学での物理量の時間発展をあらわす式（ポアソンの括弧式を使ったもの）に類似している。

シュレーディンガー描像でも時間依存する物理量 ${\hat{A}}_{\mathrm{S}}(t)$ が含まれる場合、ハイゼンベルクの運動方程式は以下のように修正される。

$i\hslash \frac{\mathrm{d}{\hat{A}}_{\mathrm{H}}(t)}{\mathrm{d}t}=[{\hat{A}}_{\mathrm{H}}(t),{\hat{H}}_{\mathrm{H}}(t)]+{\hat{U}}^{†}(t)\left(\frac{\mathrm{d}{\hat{A}}_{\mathrm{S}}(t)}{\mathrm{d}t}\right)\hat{U}(t)$

ここで ${\hat{A}}_{\mathrm{S}}(t)$ はシュレーディンガー描像での物理量 $A$ の演算子、$\hat{U}$は時間発展演算子である。