パーフェクトイド空間

テンプレート:More footnotes 数学のパーフェクトイド空間テンプレート:Efn（パーフェクトイドくうかん、テンプレート:Lang-en-short）とは、[[p進数|テンプレート:Mvar 進数体]]に代表されるテンプレート:仮リンクの体の上での数論幾何学の研究に用いられる、テンプレート:仮リンクの一種である。

パーフェクトイド体とは、階数（高さともいう）1の非離散付値から誘導された位相を持つ完備な位相体 テンプレート:Mvar であって、テンプレート:Math 上のフロベニウス自己準同型 Φ が全射であるもののことである。ここで テンプレート:Math は冪有界元全体のなす環である。

パーフェクトイド空間は混標数の状況を等標数の状況と比較するために用いられる。またこのことを目的として創始された。この比較を数学的に行うための技術的な道具立てが傾同値と概純定理である。ペーター・ショルツェによって2012年に創始された。

傾同値

任意のパーフェクトイド体 テンプレート:Mvar に対して、テンプレート:定訳なし（tilt）と呼ばれる有限な標数 テンプレート:Mvar のパーフェクトイド体 テンプレート:Math が定まる。集合としては、これは次の式

$K^{\mathrm{♭}}=\underset{x\mapsto x^p}{\underleftarrow{\lim }}K$

で定義される。つまり、テンプレート:Mvar の元の無限列 テンプレート:Math であって テンプレート:Math を満たすもの全体が テンプレート:Math である。テンプレート:Math の乗法は項別に定義されるが、加法の定義の仕方は複雑である。テンプレート:Mvar の標数が有限であれば テンプレート:Math が成り立つ。テンプレート:Mvar が ${\mathbb{Q}}_p(p^{1/p^{\mathrm{\infty }}})$ の テンプレート:Mvar 進完備化であれば、テンプレート:Math は ${𝔽}_p((t))(t^{1/p^{\mathrm{\infty }}})$ の テンプレート:Mvar 進完備化である。

パーフェクトイド体 テンプレート:Mvar 上のパーフェクトイド代数やパーフェクトイド空間とは、おおまかにいって体上の代数やスキームの類似物である。チルトを取る操作はこれらにも拡張される。パーフェクトイド体 テンプレート:Mvar 上のパーフェクトイド空間 テンプレート:Mvar に対して、テンプレート:Math 上のパーフェクトイド空間 テンプレート:Math を定めることができる。傾同値（tilting equivalence）とは、チルトを取る関手 (-)^♭ は テンプレート:Mvar 上のパーフェクトイド空間の圏と テンプレート:Math 上のパーフェクトイド空間の圏の間の圏同値を誘導するという定理である。同型ではないパーフェクトイド体がチルトを取ると同型な有限標数のパーフェクトイド体になることがある。その場合、それらの上のパーフェクトイド空間の圏は同値になることもこの定理は意味している。

概純定理

射の性質の中にはこの圏同値で保たれるものがある。スキームの射の性質の多くはアディック空間の射に対しても同様のものが定義される。パーフェクトイド空間に対する概純定理（almost purity theorem）とは、有限エタール射に関連するもので、[[p進ホッジ理論|テンプレート:Mvar 進ホッジ理論]]におけるファルティングスの概純定理の一般化である。定理の名前が暗示しているように、証明にはテンプレート:訳語疑問点範囲が用いられる。また、古典的なテンプレート:訳語疑問点範囲とも間接的にではあるが関係している。

テンプレート:Mvar をパーフェクトイド体とする。概純定理とは次の2つの主張のことである。

• テンプレート:Mvar → テンプレート:Mvar が テンプレート:Mvar 上のアディック空間の有限エタール射で テンプレート:Mvar がパーフェクトイドだったとする。このとき、テンプレート:Mvar もパーフェクトイドである。

• テンプレート:Mvar 上のパーフェクトイド空間の射 テンプレート:Mvar → テンプレート:Mvar が有限エタールであることと、そのチルト テンプレート:Math → テンプレート:Math が テンプレート:Math 上有限エタールであることは同値である。

体の場合の有限エタール写像とは有限次分離拡大のことなので、任意のパーフェクトイド体 テンプレート:Mvar に対して テンプレート:Mvar の絶対ガロア群と テンプレート:Math のそれは同型であることを概純定理は意味する。

関連項目

• 完全体

参考文献

• テンプレート:Cite journal

外部リンク

• テンプレート:Cite web
• テンプレート:Cite web
• Foundations of Perfectoid Spaces by Matthew Morrow
• Lean perfectoid spaces. テンプレート:仮リンクでのパーフェクトイド空間の形式化された定義。