ヒルツェブルフ・リーマン・ロッホの定理

ヒルツェブルフ・リーマン・ロッホの定理(Hirzebruch–Riemann–Roch theorem)とは、1954年にフリードリッヒ・ヒルツェブルフ(Friedrich Hirzebruch)により証明された高次元の複素代数多様体に対するリーマン・ロッホの定理の一般化である。この定理のさらなる一般化としてテンプレート:仮リンクおよびアティヤ＝シンガーの指数定理がある。

ヒルツェブルフ・リーマン・ロッホの定理の内容

コンパクトな複素多様体 X 上の任意の正則ベクトルバンドル E に対し、その層係数コホモロジーの次元の交代和

$\chi (X,E)=\sum _{i=0}^{{\dim }_{ℂ}X}(-1{)}^i{\dim }_{ℂ}{H}^i(X,E)$

を E のオイラー数とよぶ。ヒルツェブルフの定理は、オイラー数 χ(X, E) を E のチャーン類と X のトッド類（正確には X の接ベクトル束のトッド類）から計算できるという定理である。E のチャーン指標を ch(E) とし、X のトッド類を td(X) とすると、定理は

$\chi (X,E)=\underset{X}{\int }\mathrm{ch}(E)\mathrm{td}(X)$

と書ける。ここで、ch(E)td(X) は X のコホモロジー環における積で、このコホモロジー類と X の基本類とのペアリングを X 上での積分として書き表した。

リーマン・ロッホの定理

X が 1 次元の場合、すなわちリーマン面の場合、ヒルツェブルフ・リーマン・ロッホの定理から古典的なリーマン・ロッホの定理である。E を X 上の階数 1 のベクトル束（すなわち直線束）とする。E に対応して曲線上の因子 (代数幾何学) D が存在して E = O(D) となる。これのチャーン指標は 1+D となる。またトッド類は 1 + c₁(T(X))/2 であり、T(X) が標準束の双対であることから、これは K を標準因子として 1 - K/2 となる。ヒルツェブルフ・リーマン・ロッホの定理から

$h^0(𝒪(D))-h^1(𝒪(D))=\mathrm{deg}(D-\frac{1}{2}K)$

となる。

しかし、h⁰(O(D)) は l(D) に一致し、セール双対性により h¹(O(D)) = h⁰(O(K − D)) = l(K − D) である。さらに、K の次数は g を曲線 X 種数として 2g - 2であるため、古典的なリーマン・ロッホの定理

$\ell (D)-\ell (K-D)=\text{deg}(D)+1-g$

を得る。

ベクトルバンドル V に対し、チャーン指標は rank(V) + c₁(V) であるので、曲線のベクトルバンドルのヴェイユのリーマン・ロッホの定理

$h^0(V)-h^1(V)=c_1(V)+\text{rank}(V)(1-g)$

を得る。

曲面のリーマン・ロッホの定理

X を曲面とし、D を X 上の因子として直線束 E = O(D) のオイラー数を計算する。E のチャーン指標は ch(E) = 1+ D + D²/2 である。また X のトッド類は td(X) = 1 - K/2 + (K² + c₂(X))/12 となる。ここで K は X の標準因子で c₂(X) は X の接束の第2チャーン類をあらわす。このときヒルツェブルフ・リーマン・ロッホの定理は、

$\chi (𝒪(D))=\frac{1}{2}D(D-K)+\frac{1}{12}(K^2+c_2(X))$

である。ここで D = 0 とすると、ネターの公式

$\chi (𝒪)=\frac{1}{12}(K^2+c_2(X))$

を得る事ができ、上の式は

$\chi (𝒪(D))=\chi (𝒪)+\frac{1}{2}D(D-K)$

と書く事もできる。

参考文献

• Topological Methods in Algebraic Geometry by Friedrich Hirzebruch ISBN 3-540-58663-6