ヒルベルト・サミュエル関数

可換環論において可換ネーター局所環 A 上有限生成な 0 でない加群 M と A の準素イデアル I のヒルベルト・サミュエル関数 (Hilbert–Samuel function) は、David Hilbert と テンプレート:仮リンク にちなんで名づけられているが、写像 ${\chi }_M^I:\mathbb{N}\to \mathbb{N}$ であってすべての $n\in \mathbb{N}$ に対して

${\chi }_M^I(n)=\ell (M/I^{n}M)$

であるようなものである、ただし $\ell$ は A 上の長さを表す。それはテンプレート:仮リンク ${\mathrm{gr}}_I(M)$ のテンプレート:仮リンクと恒等式

${\chi }_M^I(n)=\sum _{i=0}^{n}H({\mathrm{gr}}_I(M),i),$

によって関連付けられる。十分大きい $n$ に対して、それは次数が $\dim ({\mathrm{gr}}_I(M))$ に等しい多項式関数と一致する。

例

二変数の形式的冪級数の環 $k[[x,y]]$ を自身の上の加群と考え順序によって次数付け、イデアルを単項式 x² と y³ によって生成されたものとすると、

$\chi (1)=1,\chi (2)=3,\chi (3)=5,\chi (4)=6\text{ and }\chi (k)=6\text{ for }k>4.$

次数の制限

ヒルベルト関数とは違って、ヒルベルト・サミュエル関数は完全列に対して加法的でない。しかしながら、アルティン・リースの補題の結果として、それはなお加法的であることにある程度近い。$P_{I,M}$ でヒルベルト・サミュエル多項式を表記する。すなわち、それは十分大きい整数に対してヒルベルト・サミュエル関数と一致する。

$(R,m)$ をネーター局所環とし、I を m-準素イデアルとする。

$0\to M^{\prime }\to M\to M^{″}\to 0$

が有限生成 R-加群の完全列で、$M/IM$ の長さが有限であれば、

$P_{I,M}=P_{I,M^{\prime }}+P_{I,M^{″}}-F$

ただし F は次数が $P_{I,M^{\prime }}$ の次数よりも真に小さい多項式で、正の leading coefficient をもつ。とくに、$M^{\prime }\simeq M$ であれば、 $P_{I,M^{″}}$ の次数は $P_{I,M}=P_{I,M^{\prime }}$ の次数よりも真に小さい。

証明： 与えられた完全列を $R/I^n$ でテンソルして核を計算すると、完全列

$0\to (I^{n}M\cap M^{\prime })/I^n{M}^{\prime }\to M^{\prime }/I^n{M}^{\prime }\to M/I^{n}M\to M^{″}/I^n{M}^{″}\to 0$

を得、これから

${\chi }_M^I(n-1)={\chi }_{M^{\prime }}^I(n-1)+{\chi }_{M^{″}}^I(n-1)-\ell ((I^{n}M\cap M^{\prime })/I^n{M}^{\prime })$.

右辺第三項はアルティン・リースによって評価できる。実際、補題によって、大きい n とある k に対して、

$I^{n}M\cap M^{\prime }=I^{n-k}((I^{k}M)\cap M^{\prime })\subset I^{n-k}{M}^{\prime }.$

したがって、

$\ell ((I^{n}M\cap M^{\prime })/I^n{M}^{\prime })\le {\chi }_{M^{\prime }}^I(n-1)-{\chi }_{M^{\prime }}^I(n-k-1)$.

これは望んだ次数の制限を与える。

関連項目

• en:j-multiplicity