フォン・シュタウト＝クラウゼンの定理

フォン・シュタウト＝クラウゼンの定理（フォン・シュタウト-クラウゼンのていり、Von Staudt–Clausen theorem）は、数論におけるベルヌーイ数の小数部分に関する定理である。 テンプレート:Harvard citationsと、 テンプレート:Harvard citationsが独立して発見した。

テンプレート:Mvarを正整数、テンプレート:Mvarをテンプレート:Mathがテンプレート:Mathで割り切れるような素数として、ベルヌーイ数テンプレート:Mathにすべてのテンプレート:Mathを加えた数は整数になる。つまり、

$B_{2n}+\sum _{(p-1)|2n}\frac{1}{p}\in \mathbb{Z}.$

この定理により即座に、0でないベルヌーイ数テンプレート:Mathの（規約な）分母が、テンプレート:Mathがテンプレート:Mathで割り切れるような素数テンプレート:Mvarの総積であることが分かる。更に、無平方で、6で割り切れる事も導ける。

ベルヌーイ数テンプレート:Mathについて、n番目の分母の成す数列は次の通り。

6, 30, 42, 30, 66, 2730, 6, 510, 798, 330, 138, 2730, 6, 870, 14322, 510, 6, 1919190, 6, 13530, ... テンプレート:OEIS.

整数列 $B_{2n}+\sum _{(p-1)|2n}\frac{1}{p}$は次のようになる。

1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, -6, 56, -528, 6193, -86579, 1425518, -27298230, ... テンプレート:OEIS.

証明

4つの補題を用いる。

テンプレート:Mvarを素数とする。

1. テンプレート:Mathがテンプレート:Mathで割り切れるならば、

$\sum _{m=0}^{p-1}(-1{)}^m(\genfrac{}{}{0ex}{}{p-1}{m})m^{2n}\equiv -1(\mathrm{mod}p).$

2. テンプレート:Mathがテンプレート:Mathで割り切れないならば、

$\sum _{m=0}^{p-1}(-1{)}^m(\genfrac{}{}{0ex}{}{p-1}{m})m^{2n}\equiv 0(\mathrm{mod}p).$

補題1,2の証明にはフェルマーの小定理を使う。テンプレート:Mathについて、

$m^{p-1}\equiv 1(\mathrm{mod}p)$

である。

テンプレート:Mathがテンプレート:Mathで割り切れる（テンプレート:Mathがテンプレート:Mathの倍数）ならば、テンプレート:Mathについて、

$m^{2n}\equiv 1(\mathrm{mod}p)$

であるから、

$\sum _{m=1}^{p-1}(-1{)}^m(\genfrac{}{}{0ex}{}{p-1}{m})m^{2n}\equiv \sum _{m=1}^{p-1}(-1{)}^m(\genfrac{}{}{0ex}{}{p-1}{m})(\mathrm{mod}p),$

$\sum _{m=1}^{p-1}(-1{)}^m(\genfrac{}{}{0ex}{}{p-1}{m})=(1-1{)}^{p-1}-1=-1.$

より補題1が証明された。ただし、二番目の式では二項定理を用いている。

テンプレート:Mathがテンプレート:Mathで割り切れないならば、フェルマーの小定理より、

$m^{2n}\equiv m^{2n-(p-1)}(\mathrm{mod}p).$

テンプレート:Mathとする。床関数の性質テンプレート:Mathよりテンプレート:Math。

テンプレート:Math、テンプレート:Mathについて、フェルマーの小定理より、

$m^{2n}\equiv m^{2n-\mathrm{\wp }(p-1)}(\mathrm{mod}p)$

したがって、

$\sum _{m=0}^{p-1}(-1{)}^m(\genfrac{}{}{0ex}{}{p-1}{m})m^{2n}\equiv \sum _{m=0}^{p-1}(-1{)}^m(\genfrac{}{}{0ex}{}{p-1}{m})m^{2n-\mathrm{\wp }(p-1)}(\mathrm{mod}p)$

$S(2n,p-1)\equiv S(2n-\mathrm{\wp }(p-1),p-1)(\mathrm{mod}p).$

テンプレート:Mathのときテンプレート:Mathであるから、補題2が証明された。

3. テンプレート:Mathのとき、テンプレート:Mathはテンプレート:Mvarで割り切れる。

4. 第二種スターリング数は整数である。

フォン・シュタウト＝クラウゼンの定理の証明には、ベルヌーイ数の一般項の公式を用いる。

$B_{2n}=\sum _{j=0}^{2n}\frac{1}{j+1}\sum _{m=0}^j(-1{)}^m(\genfrac{}{}{0ex}{}{j}{m})m^{2n}$

これは第二種スターリング数テンプレート:Mathを用いて次のように書ける。

$B_{2n}=\sum _{j=0}^{2n}\frac{j!}{j+1}(-1{)}^{j}S(2n,j)$

テンプレート:Mathを4より大きい合成数とすると、補題3よりテンプレート:Mathは テンプレート:Mathで割り切れる。

テンプレート:Mathならば、

$\sum _{m=0}^3(-1{)}^m(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{m})m^{2n}=3\cdot 2^{2n}-3^{2n}-3\equiv 0(\mathrm{mod}4).$

テンプレート:Mathを整数とする。テンプレート:Mathが素数ならば補題1,2を使って、テンプレート:Mathが合成数ならば補題3,4を使って、次の式の成立が分かる。

$B_{2n}=I_n-\sum _{(p-1)|2n}\frac{1}{p},$

これは示されるべきことであった。

関連項目

• テンプレート:仮リンク

出典

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外部リンク

• テンプレート:MathWorld
• テンプレート:Cite web