ブラック–カラシンスキー・モデル

ブラック–カラシンスキー・モデル（テンプレート:Lang-en-short）とは、数理ファイナンスにおける利子率のテンプレート:仮リンクを表す数理モデルである。ブラック–カラシンスキー・モデルは単一のランダム性のソースにより利子率の変動が記述されるため1ファクターモデルである。さらに、ブラック–カラシンスキー・モデルは無裁定モデルのクラスに属する。つまり、ゼロクーポン債の現在価格にフィットさせることができ、最も一般的な形では、キャップ、フロアー、ヨーロピアンスワップションの現在価格にもフィットさせることが出来る。ブラック–カラシンスキー・モデルはフィッシャー・ブラックとテンプレート:仮リンクにより1991年に提案された。

モデル

ブラック–カラシンスキー・モデルにおける状態変数はショートレートである。このショートレートは（リスク中立測度の下で）以下の確率微分方程式に従うとされる。

$d\ln (r)=[{\theta }_t-{\varphi }_t\ln (r)]dt+{\sigma }_{t}d{W}_t$

ここで dW_t は標準ブラウン運動である。ブラック–カラシンスキー・モデルはショートレートが対数正規分布に従うことを意図しており、ゆえにマネーマーケットアカウントの期待値は全ての満期で発散する。

フィッシャー・ブラックとピョートル・カラシンスキーの元々の論文では、ブラック–カラシンスキー・モデルは二項価格評価モデルを用いて実装されていた。しかし、実践上は三項格子による実装が一般的であり、特にハル–ホワイト格子の対数正規分布に対する応用版が用いられている。

応用

現在の利子率の期間構造やキャップ、フロアー、ヨーロピアンスワップションの価格もしくはテンプレート:仮リンクに対しブラック–カラシンスキー・モデルのパラメーターがキャリブレートされたならば、ブラック–カラシンスキ・モデルをアメリカンテンプレート:仮リンクやバミューダ債券オプション、スワップションなどのエキゾチックなテンプレート:仮リンクに用いることが可能である。数値解法（通常ツリー）はプライシングと同様に各キャリブレーションのステージにおいて用いられている。

参考文献

• テンプレート:Cite journal
• テンプレート:Cite book
• テンプレート:Cite journal