ブレートシュナイダーの公式

ブレートシュナイダーの公式（ブレートシュナイダーのこうしき、Bretschneider's formula）は、四角形の面積を与える公式である。四角形ABCD について、p, q, r, s をそれぞれの辺の長さ、T を半周長、A と C を互いに対角とすると、四角形の面積は

\sqrt{(T - p) (T - q) (T - r) (T - s) - p q r s \cos^{2} \frac{A + C}{2}}

に等しい。円に内接する四角形の面積を表したブラーマグプタの公式の一般化であり、任意の四角形について成り立つ。名前の由来はドイツの数学者カール・アントン・ブレートシュナイダー（1808–1878）にちなむ。

証明

四角形の面積を S とすると、

S = \pm △ ADB \pm △ BDC

(±は、凸四角形と凹四角形の場合を省略します)

\begin{matrix} = \frac{1}{2} p s \sin A + \frac{1}{2} q r \sin C \end{matrix}

より

4 S^{2} = (p s)^{2} \sin^{2} A + (q r)^{2} \sin^{2} C + 2 p q r s \sin A \sin C

を得る。また、余弦定理より、

{BD}^{2} = p^{2} + s^{2} - 2 p s \cos A = q^{2} + r^{2} - 2 q r \cos C

であるから

\frac{1}{4} (q^{2} + r^{2} - p^{2} - s^{2})^{2} = (p s)^{2} \cos^{2} A + (q r)^{2} \cos^{2} C - 2 p q r s \cos A \cos C

を得る。4Sテンプレート:Sup についての式と辺々を足し合わせ、加法定理 cos(A + C) = cos A cos C − sin A sin C を用いると、

4 S^{2} + \frac{1}{4} (q^{2} + r^{2} - p^{2} - s^{2})^{2} = (p s)^{2} + (q r)^{2} - 2 p q r s \cos (A + C)

となる。倍角の公式 $1 + \cos θ = 2 \cos^{2} \frac{θ}{2}$ を用いて変形すると、

16 S^{2} = (p + q + r - s) (p + q - r + s) (p - q + r + s) (- p + q + r + s) - 16 p q r s \cos^{2} \frac{A + C}{2}

となる。この式は、半周長

T = \frac{p + q + r + s}{2}

を用いて

16 S^{2} = 16 (T - p) (T - q) (T - r) (T - s) - 16 p q r s \cos^{2} \frac{A + C}{2}

となり、ブレートシュナイダーの公式を得るテンプレート:Sfn。