ヘヴィサイドの展開定理

ヘヴィサイドの展開定理（ヘヴィサイドのてんかいていり、テンプレート:Lang-en-short^[1]）は、ある種の関数のラプラス逆変換を与える定理である。オリヴァー・ヘヴィサイドはイギリスの電気技師。有理関数に関するもののみを指す場合が多いが、より一般の有理型関数に対する主張へ拡張される^[2]。以下では、有理関数のみ扱うものとする。

概要

P(s), Q(s) は共通因子を持たない実数係数多項式で、次数は P の方が小さいとし、有理関数 F(s) = P(s) / Q(s) のラプラス変換による原像を求めたいものとする。代数学の基本定理より、分母 Q(s) は複素数の範囲で一次式の積に分解できて

F (s) = \frac{P (s)}{(s - a_{1})^{n_{1}} \dots (s - a_{r})^{n_{r}}}

となる。これを部分分数分解すれば

F (s) = \sum_{i = 1}^{r} \sum_{j = 1}^{n_{i}} \frac{A_{i j}}{(s - a_{i})^{j}}

の形になる。ここに、各係数は

A_{i j} = \frac{1}{(n_{i} - j)!} \lim_{s \to a_{i}} \frac{d^{n_{i} - j}}{d s^{n_{i} - j}} ((s - a_{i})^{n_{i}} F (s))

で与えられる。各部分分数の原像は

ℒ^{- 1} [\frac{A}{(s - a)^{n}}] = \frac{A}{(n - 1)!} t^{n - 1} \exp (a t)

で与えられるので、F(s) の原像が求まる。

以上より、有理関数のラプラス逆変換は理論的には求まるが、計算しやすい公式の形で与えられたものを「展開定理」と称することが多い。その式の形は文献によって多少の差異があるが、本質的には同じものである。

Q(s) が虚根を持つ場合、一旦は虚数が現れるが、オイラーの公式を用いて三角関数に変形すれば、実関数の範囲で原像が求まる。計算上は、複素数の範囲で一次式に分解するのではなく、実数の範囲で高々二次式にまで分解しておき、

ℒ^{- 1} [\frac{ω}{(s - a)^{2} + ω^{2}}] = \exp (a t) \sin (ω t)

ℒ^{- 1} [\frac{s - a}{(s - a)^{2} + ω^{2}}] = \exp (a t) \cos (ω t)

などを用いる方が実践的である場合もある。

分母が単根のみを持つ有理関数

F (s) = \frac{P (s)}{Q (s)} = \frac{P (s)}{(s - a_{1}) \dots (s - a_{r})}

の原像は

ℒ^{- 1} [F (s)] = \sum_{i = 1}^{r} \frac{P (a_{i})}{Q^{'} (a_{i})} \exp (a_{i} t)

で与えられる。Q′(a_i) は、より具体的には

Q^{'} (a_{i}) = \prod_{j \neq i} (a_{i} - a_{j})

として計算できる。

分母がn重根 a を持つ有理関数

F (s) = \frac{P (s)}{Q (s)} = \frac{ϕ (s)}{(s - a)^{n}} = \sum_{j = 1}^{n} \frac{A_{j}}{(s - a)^{j}} + R (s)

に対しては、

A_{j} = \frac{1}{(n - j)!} \lim_{s \to a} \frac{d^{n - j}}{d s^{n - j}} ((s - a)^{n} F (s))

であるから、

ℒ^{- 1} [F (s)] = \exp (a t) \sum_{j = 1}^{n} \frac{ϕ^{(n - j)} (a)}{(n - j)! (j - 1)!} t^{j - 1} + ℒ^{- 1} [R (s)]

が成り立つ。右辺第1項は

\frac{1}{(n - 1)!} \lim_{s \to a} \frac{d^{n - 1}}{d s^{n - 1}} (ϕ (s) \exp (s t))

と同じものである。